Ebene - Punkt. Welchen Wert müsste die x3-Komponente von P2 haben, damit auch...?

Question

ich habe grade Schwierigkeiten folgende Aufgabe zu lösen:

Gegeben seien drei Punkte der Ebene E: A(2|2|3), B(3|1|5) und C(1|2|4).

Zeigen Sie, dass P₁(1|1|7) auf der Ebene liegt, der Punkt P₂(2|-2|10) aber nicht.

Mit der dem Aufstellen der Ebene und dem Beweis, dass P1 in der Ebene liegt und P2 nicht, hatte ich kein Problem. Nur jetzt ist die weitere Aufgabe:

 Welchen Wert müsste die x₃-Komponente von P₂ haben, damit auch dieser Punkt auf E liegt?

Wie mache ich das?

Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte!

Answer 1

Welchen Wert müsste die x₃-Komponente von P₂ haben, damit auch dieser Punkt auf E liegt?

Da gibt es mindestens 2 Möglichkeiten für den Rechenweg.

Ansatz P(2, -2, c)

1. Wenn du die Koordinatenform der Ebenengleichung hast, setze dort einfach P(2, -2, c) ein und bestimme c.

2. Das Spatprodukt AB, AC, AP muss 0 sein. Schreibe diese Vektoren als Spalten in eine 3x3-Matrix. Berechne die Determinante mit c. Setze den Term 0 und bestimme c.

Versuche, wenn möglich beide Rechenwege. Wenn 2 Mal dasselbe rauskommt, hast du gleich eine Kontrolle.

Comments

Erstmal danke für die schnelle Antwort!

Nur steh ich leider noch immer auf dem Schlauch. Die Koordinatenform ist bei der Aufgabe nicht gegeben.

In der Lösung steht allerdings "Die hierfür notwendige Komponente lässt sich aus Gleichung III berechnen: Mit r = 4 und s=4 ergibt sich x₃=15.

Folgendes GLS liegt dem zugrunde:

I      -r + s = 0

II      r        = 4

III  -2r  - s = -7

Verstehe aber einfach nicht wie das gemeint ist. :(

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Dieses LGS hast du?

I      -r + s = 0

II      r        = 4

III  -2r  - s = -7

Aus

I      -r + s = 0

II      r        = 4

folgt r=4, s=4

Nun man in (III) einsetzen

III  -2*4 - 4 = -12 Das könnte nun die 3. Komponenten sein. Hier stimmt aber etwas nicht!

Du brauchst schon ein LGS, bei dem auf der rechten Seite der Reihe nach 2, - 2 und 10 steht.

Von dem nimm I und II. Berechne r und s und setze die beiden dann links in (III) ein. Da sollte dann statt 10 das Richtige rauskommen.

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Wenn nicht: Bitte deinen vollständigen Rechenweg einstellen.

Zudem: Die beiden Wege, die ich angegeben habe, solltest du zur Übung schon auch beherrschen.

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Argh.. Ich komme langsam etwas durcheinander mit dem ganzen, zumal ich auch einen anderen Lösungsweg gegangen bin, als der in der Lösung.

Also mein Rechenweg ist:

Aus den Punkten A(2|2|3), B(3|1|5) und C(1|2|4) habe ich folgende Ebene konstruiert:

E: x = (2 | 2 | 3 ) + r * (-1 |1 | -2) + s * (1 | 0 | -1)

Dann den Punkt P3 eingesetzt:

E: (2 | -2 | 10) = (2 | 2 | 3 ) + r * (-1 |1 |-2) + s * (1 | 0 | -1)

Daraus das GLS konstruiert:

  2 = 2 - r + 2
 -2 = 2 + r
10 = 3 - 2r - s

Geordnet:

I   0 = -r + s
II -4 = r
III  7 = -2r - s

r = -4

In I eingesetzt:
s = -4

Und nun komme ich nicht weiter.. Ehrlich gesagt ist mein Mathetank für heute aber auch leer und ich kann kaum noch einen klaren Gedanken fassen.. :-D
Wo liegt nun mein Fehler?

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E: (2 | -2 | c) = (2 | 2 | 3 ) + r * (-1 |1 |-2) + s * (1 | 0 | -1) 

Daraus das GLS konstruiert: 

  2 = 2 - r + s
 -2 = 2 + r 
10 = 3 - 2r - s  Diese Gleichung brauchst du dann

Das ist (III) c = 3-2r -s

Geordnet: 

I   0 = -r + s 
II -4 = r 
weglassen!
r = -4 

In I eingesetzt: 
s = -4 

Nun damit in (III) c = 3 -2(-4)-(-4) = 15

ich kann kaum noch einen klaren Gedanken fassen.. :-D 

Geh mal mit dem Hund raus und schau das morgen in Ruhe nochmals an. :)

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Ahhh! Jetzt ist der Knoten endlich geplatzt! Das Ordnen war also überflüssig.

Vielen Dank für deine Hilfe! Wünsche noch einen netten Abend :)