Gleichung: 8·x^6 - 9·x^3 + 1 = 0

Question

brauche Hilfe bei folgender Aufgabe : 8x^6 - 9x^3 + 1  mit Erklärung bitte :)

Comments

Es heisst Polynomdivision. Wo ist der Divisor?

Answer 1

Subst .: z ----->  x³  !

8z²  -9z +1  = 0   , : 8

z² -9/8 z +1/8  = 0

z_1,2 = + 9/16  ± √ 81/256  - 32 /256  = + 9/16 ± √ 49 /256

z_1,2 = 9/16 ± 7/16

z₁ = 9+7/ 16 = 16 /16 =1

z₂ = 9/16 - 7 /16 = 2/16 = 1/8 !!

Rücksub.  z  =  x³ ------>  x = ³ √ 1 -----> x₁ =1 ,x₂ = 1 , x₃ =1  !

x =³ √ 1/8  → x_4,5,6 = 0,5

Comments

Wenn man schreibt x1 = 1, x2 = 1 und x3 = 1 könnte man denken das 1 hier eine dreifache Nullstelle ist. Das ist allerdings nicht der Fall.

1 und 0.5 sind hier zwei Nullstellen. Dann gibt es noch 4 Nullstellen im komplexen.

Answer 2

Zuerst brauchst du die Nullstelle... Wo ist die?

Comments

Du musst zuerst eine Nullstelle herausfinden oder raten...

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x₁₌ -1

ist die erste lösung

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Eine Nullstelle finden und dann? Ich sehe keine Aufgabe...

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Der Fragesteller könnte zum Beispiel 1 oder 2  für x einsetzen und schauen ob am Ende 0 raus kommt, wenn ja dann ist es schon die 1.Nullstelle und dann kann er die Polynomdivision weiterführen?

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8x⁶ - 9x³ + 1  ^^

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Das ist bloss ein Term... Woher hast du denn diese "Aufgabe"?

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8x^6 - 9x^3+1 = 0

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Na gut, ich helfe mal:

Eine Nullstelle kann man mit dem Taschenrechner herausfinden:

x=1 und x=0.5

Eine kannst du dir aussuchen:

Ich habe mal x=1 genommen:

Als Ergebnis habe ich: 8x⁵+8x⁴+8x³-x²-x-1

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Taschenrechner, Taschenrechner, der hat bei Nullstellen nichts zu suchen!

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Wie meinst du das Legen...Där?

Den Taschenrechner kann man ja immer benutzen, wenn man z.B. den Graph der Funktion bla bla bla anschauen möchte... da kann man auch nach Nullstellen, Extrema und Wendestellen suchen. Ein Taschenrechner ist für solche Zwecke nicht verboten

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da habe ich dann ja richtig eine polynomdivison angewendet (y)

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Ich finde den Taschenrechner an solchen Situationen, bei einer schönen Aufgabe eher schädlich als nützlich. Wieso alles dem Taschenrechner überlassen? Wenn man mal schnell 15*24 rechnen möchte greife ich meist auf zum Taschenrechner, aber wenn man eine nette Aufgabe hat verdirbt der Taschenrechner einem eher den Spass, das ist mein Empfinden. Und weiter bin ich auch nocht zufrieden damit, dass der Taschenrechner für mich die Nullstellen ermittelt hat, da fehlt einem das Verständnis und der Knobelspass und man sammelt blöderweise noch nicht mal Erdahrung damit. Klar ist das erlaubt... Wenn man es so besser findet dann ist das halt so.

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Das ist was die Menschen wollen. Bloss nicht zuviel denken müssen. Deshalb werden wir auch zukünftig immer dümmer werden.

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Aber es ist ja nur eine Nullstelle die man herausfinden möchte... Ich meine, ich rechne nur mit dem Taschenrechner hier, weil es nicht meine Aufgabe ist sondern seine... Deshalb habe ich nur die Lösung angegeben, den Rechenweg muss er selber herausfinden...

Answer 3

Hi, hübsche Aufgabe! Offenbar ist x = 1 eine Lösung, doch was können wir damit anfangen? Zunächst ist

8*x^6 - 9*x^3 + 1  = 0
⇔
8*(x^3)^2 - 9*(x^3) + 1  = 0

Nun sehen wir, dass sogar x^3=1 die Gleichung löst, also können wir (x^3-1) ausklammern (Polynomdivsion). Dies führt zur Gleichung

⇔
(x^3-1) * (8*x^3-1) = 0
⇔
(x^3-1) = 0   oder   (8*x^3-1) = 0
⇔
x = 1   oder   x = 1/2.