Komplexe Zahlen - Berechnen Sie alle Werte für die dritte Wurzel von 1

Question

$$Die\quad Aufgabe\quad lautet:\quad Berechnen\quad Sie\quad alle\quad Werte\quad für\quad die\quad \sqrt [ 3 ]{ 1 } .\\ \\ Lösung\quad ist:\quad \quad \quad Z1=1\\ \qquad \qquad \qquad \qquad Z2=-1/2+i(\sqrt [ 3 ]{ 3 } /\quad 2)\\ \qquad \qquad \qquad \qquad Z3=-1/2+i(\sqrt [ 3 ]{ 3 } /\quad 2)\\ \\ Wie\quad komm\quad ich\quad auf\quad die\quad Lösung?\quad Kann\quad mir\quad das\quad jemand\quad bitte\quad vorrechnen?$$

Comments

Du kannst bestimmt die Antworten in den Kommentaren zu https://www.mathelounge.de/83657/komplexe-zahlen-samtliche-losungen-von-z-3-i

an deine Aufgabe anpassen. Probier das mal.

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leider kann ich damit nicht viel anfangen weil dort immer i ist und ich da nur eine zahl habe und das ist 1.

wie wende ich sowas an wenn du nur eine zahl ist wie in dem fall eine eins?

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1 = 1 + 0i. 

Hilft das?

1 hat den Betrag 1 und den Winkel 0° oder 0 in Bogenmass.

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ok danke ich probiers mal aus :D

edit: eine irgendwie nicht sry

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mir würde das wirklich weiter helfen wenn du das schritt für schritt auf die aufgabe anwendest :(

Answer 1

1 = 1 + 0i.

Betrag 1

Argument 0°

Die 3. Wurzeln sind

z1 = ³√1 * e^{0i} = = 1*e^{0i} = 1*1 = 1*(cos(0) + i* sin(0)) = 1(1+0) = 1

z2 = 1*e^ ((0+ 2π/3)i) = e^ ((2π/3)*i) = cos((0+1*2π)/3) + i sin((0+1*2)π/3)

z3 = 1*e^ ((0+ 4π/3)i) = e^ ((4π/3)*i) = cos((0+ 2*2π)/3) + i sin((0+2*2π)/3)

Comments

dankeschön

ich versteh aber gar nicht welche formel du genommen hast. Ich kenne nur die hier:

Zk= $$\sqrt [ n ]{ { a }_{ 0 } } =[cos(\frac { alpha+k*2Pi }{ n } )\quad +\quad i*sin(\frac { alpha+k*2Pi }{ n } )]\\ \\ aber\quad diese\quad { e }^{ hoch\quad irgendwas }\quad was\quad du\quad da\quad hast\quad versteh\quad ich\quad leider\quad nicht$$

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Aha. Dann kommst du direkt auf die Terme, in denen ich noch ein paar rote Ergänzungen gemacht habe. Nun das halt noch vereinfachen.

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habs hinbekommen danke!

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Sehr gut und bitte. Gern geschehen!