Differentialgleichung lösen: y'+y = 2x+5

Question

Von welchem Typ ist die Differentialgleichung y'+y = 2x+5?

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y(x).

Na ja, ich würde sagen, dass dies eine gewöhnliche Differentialgleichung ist, weil nur gewöhnliche Ableitungen einer Veränderlichen vorkommen. Stimmt das?

Und wie kann ich das jetzt lösen? Bitte mit ausführlicher Erklärung.

Comments

Dass es eine gewöhnliche DGL ist, stimmt. Aber mit Typ ist in dem Fall gemeint, ob sie z.B. linear oder trennbar ist. Bestimme erst mal den Typ, denn das Lösungsverfahren hängt vom Typ ab.

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Ich würde sagen, dass es sich hier um eine lineare Differentialgleichung handelt, da ich hier keine getrennten Variablen erkennen kann.

Answer 1

löse zunächst die homogene DGL \(y+y'=0.\)
Die Lösung ist bekanntlich \(y=C\cdot e^{-x}.\)
Wende nun die Methode der Variation der Konstanten an, d.h. betrachte \(C\) als Funktion von \(x\). Dann ist$$y+y'=2x+5$$$$C\cdot e^{-x}+C'\cdot e^{-x}-C\cdot e^{-x}=2x+5$$$$C'\cdot e^{-x}=2x+5$$$$C'=(2x+5)\cdot e^x$$$$C=(2x+3)\cdot e^x+K.$$Damit lautet die allgemeine Lösung der ursprünglichen DGL$$y=\big((2x+3)\cdot e^x+K\big)\cdot e^{-x}$$$$y=2x+3+K\cdot e^{-x}.$$

Comments

Erst einmal danke für deine ausführliche Antwort. Eine Frage habe ich aber noch. Wie kommst du in der letzten Zeile deiner Rechnung auf 3? Das ist mir leider noch nicht klar geworden. Der Rest ist sehr gut nachvollziehbar.

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Du musst \(C'=(2x+5)\cdot e^x\) integrieren.
$$C=\int (2x+5)\cdot e^x\,\mathrm dx=2\int x\cdot e^x\,\mathrm dx+5\int e^x\,\mathrm dx$$$$=2\cdot(x-1)\cdot e^x+5\cdot e^x+K =(2x+3)\cdot e^x+K.$$

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Danke nochmals! Jetzt ist es mir klar.

Answer 2

Hi,
noch eine Alternative zu hj197.

Bestimme die homogene Lösung:

y'+y = 0

über charak. Polynom:

λ + 1 = 0
λ = -1

y_h = c*e^{-x}

Nun einen rechte Seite Ansatz wählen, um der Störfunktion beizukommen (Resonanz liegt keine vor):

y_p = ax + b
y'_p = a

a + a*x + b = 2x + 5
Koeffizientenvergleich:

a+b = 5

a = 2

Dank letzterem folgt aus Ersterem: b = 3

Damit also

y = y_h + y_p = c*e^{-x} + 2x + 3

Grüße

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danke für deine Antwort! Ich kann deine Vorgehensweise auch nachvollziehen, allerdings komme ich mit der Lösung von Gast besser klar. Ist aber super, eine Alternative gesehen zu haben.

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Gerne :)    .

Answer 3

Es ist eine DGL mit konstanten Koeffizienten und einer Störfunktion h(x) = 2x + 5.

y = y_h + y_p

Comments

Was bedeutet Störfunktion? Könntest du das vielleicht alles etwas genauer erklären, denn mit deiner kurzen Antwort kann ich leider nichts anfangen.