Funktionenschar fa(x)=x^2+ax+a . Nullstellen, Wendepunkte, Graphen,...

Question

Ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.

Also, die Funktion f_a lautet f_a(x)=x²+ax+a , wobei a∈ℝ

1.Wie lauten hier die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte?

2.Zeige, dass alle Extrempunkte der Graphen von f_a auf der Parabel mit y=-x²-2x liegen.

3.Für welche Werte von a liegt der Extrempunkt des Graphen von f_a außerhalb der x-Achse?

Wie muss man eigentlich den Graph skizzieren, wenn man für a=-2, 0, 2 einsetzt?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, da ich das Thema Funktionsscharen nicht verstehe...

Answer 1

Eine Funktionsschar ist nicht nur 1 Funktion sondern
unendlich viele Funktionen. Für a kann ich alles einsetzen.

Also, die Funktion f_a lautet f_a(x)=x²+ax+a , wobei a∈ℝ
1.Wie lauten hier die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte?
f_a( x ) = x² + ax + a  = 0  | quadratische Ergänzung oder pq-Formel
x² + ax + a  = 0
x² + ax + (a/2)^2 = -a + a^2 / 4
( x + a/2 )^2 = a^2/4 - a
x + a/2 = ±√ ( a^2/4 - a )
x =  ±√ ( a^2/4 - a ) - a/2
Der Wert in der Wurzel muß positiv oder 0 sein.
Ist  ( Fallunterscheidung )
a^2 / 4 - a > 0 dann gibt es 2 Nullstellen ( siehe oben )
a^2 / 4 - a = 0 gibt es 1 Nullstelle. Die Wurzel entfällt. x = - a/2
a^2 / 4 - a < 0 hat die Funktion keine Nullstellen
Extrema
f ´( x ) = 2 * x + a
2 * x + a = 0
2 * x = -a
x = -a / 2
Funktionswert Extrempunkt
f ( -a / 2 ) = ( -a / 2 )²  + a * ( -a/2) + a
f ( -a /2 ) = a^2 / 4  - a^2 / 2 + a
f ( -a /2 ) = - a^2 / 4  + a
E ( -a / 2  | a - a^2 /4 )
Wendepunkt
f ´´ ( x ) = 2
Ein Wendepunkt wäre f ´´( x ) = 0.
Es gibt keinen Wendepunkt.
Die Graphen aller Funktionen  sind linksgekrümmt.
E ist MIN ( Tiefpunkt )
Die Ausgangsfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel.

2. Zeige, dass alle Extrempunkte der Graphen von f_a auf
der Parabel mit y=-x²-2x liegen.

Ortskurve
x = -a / 2  -> a = -2 * x
y = a - a^2 / 4
y = -2*x - ( -2*x)^2 / 4
y = -2*x + 4x^2 / 4
y = x^2 - 2 * x  | bewiesen

3.Für welche Werte von a liegt der Extrempunkt des Graphen von f_a außerhalb der x-Achse?
a^2 / 4 - a < 0 hat die Funktion keine Nullstellen

Wie muss man eigentlich den Graph skizzieren, wenn man für a=-2, 0, 2 einsetzt?

Eine Menge an Material.
Ich hoffe es hilft dir weiter.
mfg Georg