Funktionsuntersuchung von f(x) = x-2a+(a/x)

Question

Hallo. Ich hätte eine kurze Frage, und zwar...

Soll ich von f_a(x)=x-2a+(a/x) ermitteln...

...wann a (reelle Zahl) zwei, eine, bzw. keine Nullstelle hat.

(Ich weiß, dass a=<1 keine, a=1 eine und a=>1 zwei Nullstellen hat, da ich es in Geogebra eingegeben habe.)

...wann ein Extrema für a>0 vorliegt und nachweisen das keine Wendestelle vorhanden ist.

...unter welchen Winkeln f₂(x), also a=2 die x-Achse schneidet. 

Gerade bei der Ableitung bin ich mir nicht ganz sicher... ist die einfach f´_a(x)=1 ? 

Wichtig wäre mir, dass ich den Rechenweg nachvollziehen kann. Kevin

Comments

f_a(x)=x-2a+(a/x)

=x-2a+a*x^{-1}

f_a'(x)=1 - a*x^{-2}

Nun klarer?

Answer 1

f_a ( x ) = x - 2a +  a / x
Nullstellen
x - 2a +  a / x = 0 | * x
x^2 - 2*a*x + a / x * x = 0
x^2 - 2 * a * x + a = 0  |quadratische Ergänzung
x^2 - 2 * a * x + a^2 = -a + a^2
( x - a )^2 = a^2 - a
x - a = ±√ ( a^2 - a )
x = ±√ ( a^2 - a ) + a
Die Wurzel kann nur aus einem positivem Ausdruck gezogen werden.
Fallunterscheidung
-----------------------------------------
a^2 - a < 0 : keine Nullstelle
-----------------------------------------
a^2 - a = 0 : 1 Nullstelle
bei
a * ( a - 1 ) = 0
a = 0 und
a = 1
bei a = 0 ist die Nullstelle bei
x = a : x = 0
bei a = 1 ist die Nullstelle bei
x = a : x = 1
-----------------------------------------
a^2 - a > 0 : 2 Nullstellen
bei
x = ±√ ( a^2 - a ) + a
-----------------------------------------
f ´( x ) = 1 - a / x^2
f ´´ ( x ) = 2a / x^3
Extrema für a > 0
1 - a / x^2 = 0
a / x^2 = 1
x^2 = a
x = ±√ a
für alle a > 0 liegen 2 Extrempunkte vor.
Wendepunkte
f ´´ ( x ) = 2a / x^3
2a / x^3 = 0
x^3 * 0 = 2a
keine Lösung möglich. Keine Wendestelle.
----------------------------------------------------------
...unter welchen Winkeln f₂(x), also a=2 die x-Achse schneidet. 
f₂ ( x ) = x - 2*2 +  2 / x
f₂ ( x ) = x - 4 +  2 / x
f₂ ´ ( x ) = 1 - 2 / x^2
Nullstelle
x = ±√ ( a^2 - a ) + a
x = ±√ ( 2^2 - 2 ) + 2
x = ±√ ( 2 ) + 2
x = 3.414
x = 0.586
f₂ ´ ( 3.414 ) = 1 - 2 / 3.414^2
f₂ ´ ( 3.414 ) = 0.828
Winkel = arctan ( 0.828 ) = 39.63 °

f₂ ´ ( 0.586 ) = 1 - 2 / 0.586^2
f₂ ´ ( 0.586 ) = -4.824
Winkel = arctan ( 4.824 ) = -0.084 °

mfg Georg

Comments

Sicher, dass der letzte Winkel stimmt?

---

Korrektur

f₂ ´ ( 0.586 ) = 1 - 2 / 0.586²
f₂ ´ ( 0.586 ) = -4.824
Winkel = arctan ( -4.824 ) = -78.29 °

Answer 2

x² -2ax+a  , P-Q-Formel anwenden !
x_1,2 = a ± √ a² -a  

Comments

x_1,2 = a ± √ a² -a  

Klammerung vergessen.

x_1,2 = a ± √ ( a² -a )

Answer 3

f_a(x)=x-2a+(a/x) 

=x-2a+a*x^-1

f_a'(x)=1 - a*x^-2