2.Ableitung des Bruchs 3/(1+x^2)?

Question

Leider komme ich gerade hierbei nicht weiter:

Gesucht ist die 2.Ableitung von 3/(1+x^2) bzw. 3*(1+x^2)^-1.

Die erste Ableitung konnte ich problemlos errechnen: -6x*(1+x^2)^-2

Nur wie komme ich zur 2.Ableitung??

Ich habe es so probiert, aber der Graph, den ich dann im Funktionsplotter gezeichnet habe, passt nicht...:

f'(x)=-6x*(1+x^2)^-2

Äußere Funktion (und hier ist auch wahrscheinlich der Fehler): u(x)=-6x*x^-2

Die Funktion u lässt sich ja kürzen, aber da ich mir nicht sicher war, ob man das macht oder nicht, habe ich es mit zwei verschiedenen Varianten probiert.

Variante 1 [ohne kürzen]  -> u'(x)=-6*(-2)*x^{-3} = 12x^-3

v(x)=1+x^2 -> v'(x)=2x

u'(v(x))*v'(x) = -12*((1+x^2)^-3)*2x = -24x*(1+x^2)^-3

Variante 2 [mit kürzen]    -> u(x) = -6x/x^2 = -6/x = -6x^-1-> u'(x)=6x^-2

-> v(x) = 1+x^2 -> v'(x) = 2x

-> u'(v(x))*v'(x) = 6*((1+x^2)^-2)*2x = 12x*(1+x^2)^-2

Doch keine der Ableitungen scheinen zu stimmen. :/

Bin für eure Antworten wirklich seeehr dankbar! :)

Und bitte erklärt eure Rechnung, damit ich sie nachvollziehen kann :/ :)

Comments

3/ 1+x² ---->  - 6x /  (x²+1 ) ²  , habe ich , kannst du noch mal prüfen ?

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Ja, das habe ich ja auch raus ;) das ist die erste ableitung, ich benötige die zweite :)

Answer 1

f(x) = 3/(1 + x^2) = 3·(1 + x^2)^{-1}

f'(x) = - 3·(1 + x^2)^{-2} · 2·x = - 6·x/(x^2 + 1)^2

f''(x) = (- 6·(x^2 + 1)^2 - (- 6·x)·2·(x^2 + 1)·2·x)/(x^2 + 1)^4

f''(x) = (- 6·(x^2 + 1) - (- 6·x)·2·2·x)/(x^2 + 1)^3

f''(x) = (18·x^2 - 6)/(x^2 + 1)^3

Comments

Vielen Dank für die Antwort!! Nur leider kann ich deinen dritten Schritt nicht nachvollziehen :/ magst du den noch einmal kurz erklären?