Konvergenz oder Divergenz? Reihe: Σ (√(k^2 + 1) - k)

Question

Hallo Cmmunity,

ich habe eine folgende Aufgabe, die ich nicht richtig lösen kann:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ (\sqrt { { k }^{ 2 }+1 } -k) } $$

Ich habe es schon mit dem Majorantenkriterium und mit Abschätzen versucht herauszufinden, eins weiß ich dennoch, dass diese Reihe DIVERGIERT. Aber ich brauche eine Begründung.

Aber eins habe ich versucht, zu begründen, bin aber nicht sicher:

Es gilt: $$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ ({ a }_{ k }+{ b }_{ k })\quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ k } } +\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { b }_{ k } }  }  $$ für alle k ∈ ℕ.

Da die Reihe von k divergiert, kann man es abschätzen, indem man folgendes macht:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ (\sqrt { { k }^{ 2 }+1 } -k) } \le \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ k } $$

Ob es aber als Begründung reicht, bin ich mir nicht sicher.

Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet :)

Comments

Dass die Reihe eine divergente Majorante hat sagt gar nichts aus.

Nutze den Standardtrick mit der dritten binomischen Formel um eine divergente Minorante zu erhalten.

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Aufteilen in eine Summe von Summen darfst du nur, wenn alle einzelnen Summen endlich sind.

(√(k^2 + 1) - k)= ((√(k^2 + 1) - k) (√(k^2 + 1) +k))/ (√(k^2 + 1) + k)

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reicht es denn nicht, nachzuweisen, dass das unendlichste Glied nicht Null wird, um die Divergenz der Summe zu beweisen ?

$$  \lim_{k \rightarrow \infty} \, \sqrt{k^2+1} - k \ne 0 $$

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@pleindespoir: Es gibt sowas wie das "unendlichste Glied" nicht.

Was du hier ansprichst ist das sog. Trivialkriterium:

https://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolgenkriterium

Nur hilft das hier nicht viel, da der Grenzwert Null ist.

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Ahhh - stimmt !

hab das schon eeewig nicht mehr gemacht mit den Reihen und Folgen ... daher leichter Überblicksverlust.

Answer 1

für alle \(k\in\mathbb N\) gilt \(4k>2k\)$$\Leftrightarrow4k^2+4k+1>4k^2+2k+1$$$$\Leftrightarrow(2k+1)^2>2k(2k+1)+1$$$$\Leftrightarrow1>\frac{2k}{2k+1}+\frac1{(2k+1)^2}$$$$\Leftrightarrow k^2+1>k^2+\frac{2k}{2k+1}+\frac1{(2k+1)^2}=\left(k+\frac1{2k+1}\right)^2$$$$\Leftrightarrow\sqrt{k^2+1}-k>\frac1{2k+1}.$$Daher folgt die Divergenz der Reihe aus der Divergenz der harmonischen Reihe.

Comments

Man kann es kompliziert machen (s.o) oder einfach, wenn man so vorgeht wie im Kommentar vorgeschlagen:

$$ \sqrt{k^2+1}-k=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}+k} \geq \frac{1}{2k}$$, da \( k^2+1 > k^2 \)

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Tatsächlich? Nach meinen Berechnungen ist$$\frac1{\sqrt{k^2+1}+k}{\color{red}<}\frac1{2k}.$$

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Dann nehmen wir halt

$$\sqrt{k^2+1}-k=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}+k} \geq \frac{1}{2k+1}$$

, da \(  k^2+1 < (k+1)^2 \)