Konvergenz oder Divergenz einer Reihe: Σ (√n+3) - √(n+1))/n^{3/2}

Question

Konvergiert oder divergiert diese Reihe?

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}{n^{\frac{3}{2}}} \)

Comments

Hast du schon versucht mit dem 3. Binom, also mit (√....... + √......) zu erweitern?

So ähnlich wie hier: https://www.mathelounge.de/69732/wie-zeige-ich-dass-die-folge-an-√-n-1-√n-konvergent-ist

Dann aber das Summenzeichen nicht vergessen.

Answer 1

Hi,
schreibe den Summanden mit Hilfe der 3. Binomischen Formel als
$$ \frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{n}} \left[ \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1} \right]=\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}=\frac{2}{n^2}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}<\frac{2}{n^2} $$
Damit hat man eine konvergente Majorante gefunden.

Comments

Wie kommst du auf den 2er im Zähler?

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Dritte Binomische Formel für \( \left( \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1} \right) \left( \sqrt{n+3}+\sqrt{n+1} \right)\).

Einfach ausmultiplizieren ergibt \( 2 \)