Konvergiert oder divergiert diese Reihe?
∑n=1∞n+3−n+1n32 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}{n^{\frac{3}{2}}} n=1∑∞n23n+3−n+1
Hast du schon versucht mit dem 3. Binom, also mit (√....... + √......) zu erweitern?
So ähnlich wie hier: https://www.mathelounge.de/69732/wie-zeige-ich-dass-die-folge-an-√-n…
Dann aber das Summenzeichen nicht vergessen.
Hi,schreibe den Summanden mit Hilfe der 3. Binomischen Formel als1n1n[n+3−n+1]=1n1n2n+3+n+1=2n211+3n+1+1n<2n2 \frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{n}} \left[ \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1} \right]=\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}=\frac{2}{n^2}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}<\frac{2}{n^2} n1n1[n+3−n+1]=n1n1n+3+n+12=n221+n3+1+n11<n22Damit hat man eine konvergente Majorante gefunden.
Wie kommst du auf den 2er im Zähler?
Dritte Binomische Formel für (n+3−n+1)(n+3+n+1) \left( \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1} \right) \left( \sqrt{n+3}+\sqrt{n+1} \right)(n+3−n+1)(n+3+n+1).
Einfach ausmultiplizieren ergibt 2 2 2
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