0 Daumen
967 Aufrufe

Konvergiert oder divergiert diese Reihe?

n=1n+3n+1n32 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}{n^{\frac{3}{2}}}

Avatar von

Hast du schon versucht mit dem 3. Binom, also mit (√....... + √......) zu erweitern?

So ähnlich wie hier: https://www.mathelounge.de/69732/wie-zeige-ich-dass-die-folge-an-√-n…

Dann aber das Summenzeichen nicht vergessen.

1 Antwort

0 Daumen

Hi,
schreibe den Summanden mit Hilfe der 3. Binomischen Formel als
1n1n[n+3n+1]=1n1n2n+3+n+1=2n211+3n+1+1n<2n2 \frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{n}} \left[ \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1} \right]=\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}=\frac{2}{n^2}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}<\frac{2}{n^2}
Damit hat man eine konvergente Majorante gefunden.

Avatar von 39 k

Wie kommst du auf den 2er im Zähler?

Dritte Binomische Formel für (n+3n+1)(n+3+n+1) \left( \sqrt{n+3}-\sqrt{n+1} \right) \left( \sqrt{n+3}+\sqrt{n+1} \right).

Einfach ausmultiplizieren ergibt 2 2

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage