Grenzwert berechnen, Integral, Reihe Σ ∫ x^{2k}/k! * e^ (-x^2) dx

Question

Community, Σ  ∫ x^{2k}/k! * e^ (-x^2) dx

ich gehe gerade meine Klausur in Analysis 2 durch, und habe ein Problem mit einer Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { x }^{ 2k } }{ k! } { e }^{ -{ x }^{ 2 } }dx }  } $$

Ich habe mir zuerst gedacht, das Integral zuerst auszurechen, aber dann habe ich festgestellt, dass es nicht klappen wird aufgrund der Variable k.

Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir Tipps geben könntet :)

Comments

Ihr hattet sicher einen Satz, wann man Limes und Integral vertauschen kann. Zeige, dass die Vor. dafür erfüllt sind.

Answer 1

Hi,

die Funktionenfolge \( f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{k!} \) konvergiert auf dem Intervall \( [0, 1] \) gleichmäßig konvergent gegen \( e^{x^2} \), was man durch berechnen des Konvergenzradius leicht bestätigen kann. Also darf man Grenzwertbildung und Integration vertauschen, was zu

$$ \sum_{k=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^{2k}}{k!}e^{-x^2} dx = \int_0^1\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{k!}e^{-x^2} dx = \int_0^1e^{-x^2}e^{x^2}dx=1 $$ führt.