Ermitteln von lim x→1, doch das Einsetzen ergibt 0/0

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{e^{2(x-1)}-x^{2}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \)

Ansatz/Problem:

Wenn man für x = 1 einsetzt, erhält man ja 0/0. Das Ergebnis soll 1/4 sein und wenn ich an Stelle von 1 z.B. 0,999 einsetze klappt es auch mit dem Ergebnis, doch wie soll ich das als Lösung formulieren?

Comments

So geschickt umformen, dass keine Division duch Null mehr vorkommt.

da sind binome drin versteckt !

Answer 1

lim (x→1) (e^{2x-2} - x^2) / (x^2 - 1)^2

L'Hospital

lim (x→1) (2·e^{2·x - 2} - 2·x) / (4·x·(x^2 - 1))

L'Hospital

lim (x→1) (4·e^{2·x - 2} - 2) / (4·(3·x^2 - 1)) = 1/4

Comments

Ich danke euch, dann werde ich mich noch mal reinlesen müssen wie die Ableitung von e^2(1-1) funktioniert. Laut eurer Rechnung bleibt es ja irgendwie bestehen und ich multipliziere nur mit der 2 im Exponenten, welche auch bestehen bleibt?!

Answer 2

Hi,

nutze l'Hospital

$$\lim_{x\to1} \frac{e^{2(x-1)}-x^2}{(x^2-1)^2} = \text{l'H} = \lim \frac{2\cdot e^{2(x-1)}-2x}{4x(x^2-1)}$$

Führe ein weiteres Mal l'Hospital durch und Du kommst zum ersehnten Ziel :).

Grüße