La Grange Methode 3 Variablen, 2 Nebenbedingungen

Question

ich müsste folgende Aufgabe mit der Methode von Lagrange lösen:

f(u,v,w)= 4u+3v+w

mit folgenden Nebenbedingungen:

u*v=6

vw=24

folgende Hilfsfunktion habe ich dann  verwendet:

L(u,v,w,LAMBDA₁,LAMBDA₂)= 4u+3v+w+ LAMDA₁(uv-6) + LAMBDA₂ (vw-24)

diese muss nun partitiell abgeleitet werden und da kommt dann mein Problem. In der Lösung steht folgende ableitung soll richtig sein wenn man beispielsweise nach u ableitet:

Lu=4+LAMBDA1*v

ich verstehe nicht wie man auf diese Lösung kommt die 4 ist klar aber müsste es nicht LAMBDA1*u sein, da wir nach u ableiten und das v gar nicht berücksichtigt wird?

Wäre schön wenn mich jemand aufklären könnte, besten Dank im Voraus, tolles Forum!

Answer 1

L = 4·u + 3·v + w + h·(u·v - 6) + k·(v·w - 24)

multiplizier mal aus damit du es besser siehst

L = 4·u + 3·v + w + h·u·v - h·6 + k·v·w - k·24

Wenn wir h·u·v nach u ableiten fällt das u in der ersten Potenz weg und es bleibt h·v stehen, also

Lu = 4 + 0 + 0 + h·v + 0 = 0

Lv = 3 + h·u + k·w = 0

Lw = 1 + k·v = 0

Lh = u·v - 6 = 0

Lk = v·w - 24 = 0

Comments

Ich bekomme folgende Lösungen heraus, die du als Kontrolle verwenden kannst

h = 1 ∧ k = 0.25 ∧ u = -1.5 ∧ v = -4 ∧ w = -6, 

h = -1 ∧ k = -0.25 ∧ u = 1.5 ∧ v = 4 ∧ w = 6

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Okay, ich denke mir ist das ganze jetzt halbwegs klar geworden. War für mich ein wenig schwer zu verstehen warum außerhalb der Klammer das V und das W verschwinden aber innerhalb der Klammer stehen bleiben.

Aber es ist mir nun klar geworden, dass v und w innerhalb der Klammer auch nur quasi Koeffizienten sind, die genau wie die 4 außerhalb der Klammer stehen bleiben,

Ich danke dir vielmals!