Extremwertaufgabe: Einbeschriebenes Dreieck. Definitionsbereich bestimmen bei f(x)=1/18 x^3-x^2+9/2x

Question

Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{18} \mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}^{2}+\frac{9}{2} \mathrm{x} \).

a) Untersuchen Sie f hinsichtlich

1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
4. Extrempunkte
5. Wendepunkte

b) Zeichnen Sie den Graphen in einem angemessenem Intervall.

c) Bestimmen Sie das Dreieck mit der größten Fläche, das zwischen dem Graphen von \( f \) und der \( x \)-Achse einbeschrieben werden kann und dessen Katheten parallel zu den Achsen verlaufen.

Comments

Im Bereich des Dreiecks darf der Def. nur R⁺ sein , weil ein Flächeninhalt nur über positive Seitenlängen berechnet werden darf !

Answer 1

"wie kann man das Definitionsbereich bestimmen bei dieser Abbildung die Funktion lautet"

Das Dreieck beginnt in der linken unteren Ecke ( 0 | 0 )
Es kann, innerhalb der Kurve, konstruiert werden bis zum
Punkt ( 9 | 0 )
D = [ 0 ; 9 ]
So verstehe ich die Frage.

Comments

hey danke für die Antwort abe was bedeutet denn konstruiert und muss man immer das Punkt schreiben wo der Graph die x-Achse schneidet

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Albert, deine Skizze zeigt die Funktion und ein eingezeichnetes
Dreieck. ( Von dir oder orginal in der Skizze )
Soll das Dreieck nur im Bereich x = 0 bis x = 9
eingezeichnet werden dürfen ?
A,B,C sind die Eckpunkte des Dreickes.
D ( A ) = D ( B ) = D ( C ) = [ 0 ; 9 ]
Stell einmal den Orginal-Text der Aufgabe hier ein.

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So Albert, da hast du etwas völlig falsches gefragt.
Gefragt ist der Definitionsbereich der Funktion f ( x ).

Auf welche Fragen hättest du gern eine Antwort ?
Bitte auflisten.

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ne ich weiss aber bei der Aufgabe c) muss ich den Definitinsbereich auch schreiben aber nur vom Dreieck und ich weiss auch nicht wie ich den Definitionsbereich von f herausfinden ??

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a.)1.) Allgemein,
Einschränkungen des Def-Bereichs
a,) Divisionen durch 0 ausschließen
b.) der Term in einer Wurzel muß ≥ 0 sein
c.) der Term im Logarithmus muß > 0 sein

All dies ist bei  f ( x ) = 1/18 x³ - x² + 9/2 x nicht vorhanden.
Es gibt keine Einschränkung des Def-Bereichs.
D = ℝ

c.) Bestimmen Sie...
Ich sehe nicht das bei der Frage nach einem Def-Bereich gefragt
würde.

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also ich weiss nicht was ich zu D(A)=... schreiben muss.

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@albert,

das sieht schon ganz gut aus.

bei ( ich schreibe einmal mit meinen Bezeichnern )
A ( x ) = 1/2 * x * f ( x )
A ´( x ) = [ x * ( 2*x^2 - 27 * x + 81 ) ] / 12
Ergebnisse { 0, 9/2 , 9 }
Bei x = 0 wäre A = 0 
bei x = 9 wäre A = 0
bei x = 9/2 ist der Maximalwert.
Bei dir in der Rechnung muß irgendwo ein Fehler sein.
Solltest du ihn nicht finden kann ich bei der Suche helfen.

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Hallo Albert,

dein Fehler steckt in der Zeile : 1/9 beziehungsweise in der
Ausführung bei letzten Term :
9 / 2 : 1/9 = sind   ( 81 /  2 )
nicht 1/2
Dann kommt es hin.

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Der andere Fehler besteht darin, dass offenbar nicht quadriert wurde...

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hallo  geiorg dann geht das nicht da ich dann keine Wurzel ziehen kann

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wir sind bei
1/9 * u^2 - 3/2 * u + 9/2   = 0  | : 1/9  besser * 9 ( ist dasselbe
1/9 * 9 * u^2 - 3/2 * 9 * u + 9/2 * 9
u^2 - 27/2 * u + 81 / 2  | pq-Formel kann ich nicht daher quadratische Ergänzung
u^2 - 27/2 * u + ( 27/4)^2 = - 81 / 2 +  ( 27/4)^2
( u - 27/4 )^2 = -( 648 / 16 ) + ( 729 / 16 ) = 81 /16
u - 27 / 4 = ± √ ( 81 / 16 )
u - 27 / 4 = ± 9 / 4
u = 36 / 4 = 9
u = 18 / 4 = 9 /2

Richtiger geht es nicht.

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woher kommt die (27/4)^2 und wieso u² - 27/2 * u + ( 27/4)² = - 81 / 2 +  ( 27/4)²

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u² - 27/2 * u + 81/2 = 0  | pq-Formel kann ich nicht daher quadratische Ergänzung
Dies ist die sogenannte quadratische Ergänzung.

Ich möchte dich bitten die obige Gleichung
mit der dir geläufigen pq-Formel auszurechnen.

Es muß dasselbe herauskommen.

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u² - 27/2 * u + 81/2 = 0

u = 27/4 - √( (27/4)^2 - 81/2 )   oder   u = 27/4 - √( (27/4)^2 - 81/2 )

...

Angewendet habe ich die pq-Formel.

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hier jetzt stimmt das danke an alle ihr wart eine große Hilfe jetzt muss ich aufpassen das ich inder Klausur nicht den gleichen Fehler mit meinem Taschenrechner mache :D
der Definitionsbereich was ist das hier denn und wieso? letzte Frage :D (siehe oben Dreieck)dann kann ich auch die hinreichende Bedingung rechnen.
danke

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Du kannst ja dem Graphen entnehmen, dass u zwischen 0 und 9 liegen muss und an diesen Randstellen der Inhalt des Dreiecks verschwindet und die Flächeninhaltsfunktion des Dreiecks hier also ihre Tiefstellen hat. Damit ist u=9/2 die einzige Hochstelle und die Funktion nimmt dort auch ihr absolutes Maximum ein.

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Definitionsbereich D_A = { u∈ℝ | 0 ≤ u ≤ 9 }

oder anders geschrieben: D(A) = [ 0; 9 ]

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Es genügt völlig, die Inhaltsfunktion für das Dreieck inklusive ihres Definitionsbereichs so anzugeben:

A(u) = 1/2 * u * f(u)   für   0 ≤ u ≤ 9.

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ne ich meine bei der hinreichenden Bedingung da muss ich doch gucken ob das Maximum ist oder Minimum aber dafür muss ich x1 oder x2 oder x3 nutzen und dies find ich doch wenn ich die Definitionsbereich anschaue aber hier ist das so das alle drei im Intervall sind oder??

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Deine drei Lösungen sind

u = 0   oder   u = 9/2   oder   u = 9

(Du hast sie selbst u genannt und nicht x!)

Alle drei Lösungen liegen im Definitionsbereich und Du könntest sie in die zweite Ableitung von A einsetzen, um zu überprüfen, ob diese Stellen tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art sie sind. Da u=0 und u=9 genau die beiden rnder des Definitionsbereichs sind, müssen die Ränder nicht gesondert untersucht werden, sie sind bereits erfasst.

Answer 2

Die Polynomdiskussion bei a) schaffst du bestimmt selbst.

c) Das einzig Schwierige ist hier c).

Die Fläche des Dreiecks ist so, wie du das zeichnest 

a(x) =0.5 x*f(x)

= 1/36 x^4 - 1/2 x^3 + 9/4 x^2

a'(x) = 1/9 x^3 - 3/2 x^2 + 9/2 x = 0

---> x1= 0, x2 = 9/2, x3 = 9

x1 ist sicher eine lokale Minimalstelle, daher ist x2 = 9/2 eine lokale Maximalstelle und x3=9 wieder eine lokale Minimalstelle.

Die maximale einbeschriebene Fläche ist

a(9/2) = 0.5*9/2*(1/18*(9/2)^3 - (9/2)^2 + (9/2)^2) = 0.5*9/2*(1/18*(9/2)^3 ) = 11.390625 für x = 9/2.