Die beiden Kathetenlängen eines rechtwinkeligen Dreiecks ergeben zusammen a cm. Wie lang sind die Katheten zu wählen, damit der Flächeninhalt möglichst groß ist?
Vermutung: Die Katheten sind jeweils a/2 groß, damit sich ein halbes Quadrat ergibt.
Rechnung:
Seien die Katheten x und y dann ist der zu maximierende Flächeninhalt:
A = 1/2 * x * y
Weil unsere Hauptbedingung 2 Unbekannte hat braucht man eine Nebenbedingung um 2 Unbekannte auf 1 Unbekannte zu reduzieren. Nebenbedingung ist hier die Summe der Katheten:
x + y = a
y = a - x
Das setzen wir für die 2. Unbekannte y in die Gleichung ein
A = 1/2 * x * y = 1/2 * x * (a - x) = 0.5ax - 0.5x^2
Damit die Funktion maximal ist, muss die Ableitung Null sein.
A' = 0.5a - x = 0
x = 0.5a
Es muss ein maximum sein, da, A eine nach unten geöffnete Parabel ist, die nur ein Maximum und kein Minimum hat. Ich sehe hier also meine Vermutung bestätigt.
