Umgekehrte von Kurvendiskussion: 4.Grad mit H(0/4) T(2/0,8). Extremstelle x=3

Question

4.Grad und gegeben H(0/4) T(2/0,8) extremstelle x=3

ermittle eine  termdarstellung?

Comments

Ist H Hochpunkt und T Tiefpunkt?

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Zusatzfrage: Meinst du ein Polynom? Eine Exponentialfunktion hat in der Regel keinen 'Grad'.

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ja H ist hochpunkt und T tiefpunkt

ja ich meine Polynomfunktionn

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f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

f'(x)=4ax^3+3bx^2+2xc+d

H(0/4): 0a+0b+0c+0d+e=4

0a+0b+0c+d=0

T(2/0,8): 16a+8b+4c+2d+e=0.8

8a+4b+2c+d=0

extremstelle x=3: 108a+27b+6c+d=0

 

Zu lösen ist also das Gleichungssystem

(I) 0a+0b+0c+0d+e=4 ⇔ e=4

(II) 0a+0b+0c+d=0 ⇔ d=0

(III) 16a+8b+4c+2d+e=0.8

(IV) 8a+4b+2c+d=0

(V) 108a+27b+6c+d=0

Da e=4 und d=0 offensichtlich sind, ist nur das Gleichungssystem

(I) 16a+8b+4c+4=0.8

(II) 8a+4b+2c=0

(III) 108a+27b+6c=0

zu lösen.

Nun sagt mir mein Taschenrechner, dass es keine Lösung gibt, also habe ich entweder einen Fehler gemacht oder es gibt wirklich keine Lösung.

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Ich sehe gerade warum, ich habe bei 8a+4b+2c=0 die Koeffizienten vergessen, müsste 4*8a+3*4b+2*2c=0, also 32a+12b+4c=0 heißen, Lösung wäre dann a=-0.3, b=2, c=-3.6.

Also f(x)=-0.3x⁴+2x³-3.6x²+4

Answer 1

Umgekehrte von Kurvendiskussion:

4.Grad

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f '(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

mit H(0/4)

f(0) = 4 --> e = 4
f '(0) = 0 --> d = 0

T(2/0,8)

f(2) = 0.8 --> 16a + 8b + 4c + 4 = 0.8
f '(2) = 0 --> 32a + 12b + 4c = 0

Extremstelle x=3

f '(3) = 0 --> 108a + 27b + 6c = 0

Das LGS liefert die Lösung a = -0.3, b = 2, c = -3.6

Die Funktion lautet:

f(x) = -0.3x^4 + 2x^3 - 3.6x^2 + 4