Die kubische Gleichung der Form:
$$ x^3+rx+s=0$$
ist noch einigermassen übersichtlich algebraisch lösbar:
substituiere $$ x= u+v$$
$$ (u+v)^3+r \cdot (u+v)+s=0$$
$$ u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+r \cdot (u+v)+s=0$$
aus den gemischten Gliedern (u+v) ausklammern:
$$ u^3+(u+v) \cdot(3uv)+v^3+r \cdot (u+v)+s=0$$
Terme mit (u+v) zusammenfassen:
$$ u^3+v^3+(u+v) \cdot(3uv+r) +s=0$$
um das gemischte Produkt verschwinden zu lassen, bedingen wir 3uv+r=0
$$ u^3+v^3+s=0$$
nun stellen wir die vorherige Bedingung nach v um
$$ v=-\frac{r}{3u} $$
und setzen diese anstelle v in die obige Gleichung ein:
$$ u^3+\left(-\frac{r}{3u}\right)^3+s=0 $$
$$ u^3-\frac{r^3}{27u^3}+s=0$$
multiplizieren mit u^3
$$ u^6-\frac{r^3}{27}+s \cdot u^3=0$$
substituieren mit z=u^3
$$ z^2+s \cdot z -\frac{r^3}{27}=0$$
lösen nun die quadratische Gleichung und führen schrittweise die Rücksubstitutionen durch.
