Nullstelle bei Funktion 3 Grades: f(x) = x3-3x-4=0

Question

x³-3x-4=0

Wie werde ich die nullstellen finden? Mit polynomdivision bekomme ich immer ein Restpolynom!

Und mit einer restpolynom kann ich doch weiter nicht rechnen, kein pq-formel

Comments

Deine Funktion hat keine Nullstelle, die du mit Raten finden kannst.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-3x-4%3D0

Wähle das Newtonverfahren, wenn die Nullstelle gesucht ist.

Answer 1

Hi, x = 2 ist keine Nullstelle, suche Dir eine andere!

Answer 2

dieses Polynom hat keine ganzzahlige Nullstelle. Du musst hier mit einem Näherungsverfahren ran.

Nutze das Newtonverfahren: https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Damit komme ich auf

x₁ ≈ 2,1958

Grüße

Comments

Gerne ;)    .

Answer 3

substituiere $x=z+\frac1z$. Dann ist$$z^3+\frac1{z^3}-4=0.$$Substituiere $u=z^3$. Dann ist$$u^2-4u+1=0.$$Es folgt$$u_{1;2}=2\pm\sqrt3.$$Berechne $z$ aus $u$ durch Rücksubstitution.
Berechne $x$ aus $z$ durch Rücksubstitution.
Lösung sollte sein$$x_N=\sqrt[3]{2+\sqrt3}+\sqrt[3]{2-\sqrt3}.$$

Comments

Was ja fast der richtigen Lösung entspricht :
$$x_\mathbb{R} = \frac13 \sqrt[3]{ (54-27 \sqrt3} + \sqrt[3]{2+\sqrt3}$$

---

Die Lösung ist identisch mit der von hj193. Ziehe die 1/3 in die erste Wurzel ;).

---

aaahrrrgggghhh

soviel kompliziert gemacht und dann über einfach gestolpert !

Answer 4

Die kubische Gleichung der Form:

$$x^3+rx+s=0$$
ist noch einigermassen übersichtlich algebraisch lösbar:
substituiere $$x= u+v$$
$$(u+v)^3+r \cdot (u+v)+s=0$$
$$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+r \cdot (u+v)+s=0$$
aus den gemischten Gliedern (u+v) ausklammern:
$$u^3+(u+v) \cdot(3uv)+v^3+r \cdot (u+v)+s=0$$
Terme mit (u+v) zusammenfassen:
$$u^3+v^3+(u+v) \cdot(3uv+r) +s=0$$
um das gemischte Produkt verschwinden zu lassen, bedingen wir 3uv+r=0
$$u^3+v^3+s=0$$
nun stellen wir die vorherige Bedingung nach v um
$$v=-\frac{r}{3u}$$
und setzen diese anstelle v in die obige Gleichung ein:
$$u^3+\left(-\frac{r}{3u}\right)^3+s=0$$
$$u^3-\frac{r^3}{27u^3}+s=0$$
multiplizieren mit u^3
$$u^6-\frac{r^3}{27}+s \cdot u^3=0$$
substituieren mit z=u^3
$$z^2+s \cdot z -\frac{r^3}{27}=0$$
lösen nun die quadratische Gleichung und führen schrittweise die Rücksubstitutionen durch.