Nabend,
bei der Herleitung eines Modells für Aktienpreise bei normalverteilten Renditen aus einem diskreten Modell heraus würde mich interessieren, wie man den Übergang von diskret zu stetig mathematisch "einwandfrei" darstellen kann. Also es geht kurz zusammengefasst um folgendes:
Sei \((S_t)_{t\geq0}\) der Preis einer Aktie zum Zeitpunkt \(t\). Sei \(\delta t\) ein "Zeitsprung". Die Renditen werden als normalverteilt angenommen. Für \(\delta t = 1\) ergibt sich der Return
$$ R_t = \frac{S_{t+1} - S_{t}}{S_{t}} $$
mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\).
Genau so erhalten wir für \(\delta t = 2\)
$$ \hat{R_t}= \frac{S_{t+2} - S_{t}}{S_{t}} = (R_t + 1) (R_{t+1} + 1) - 1 = R_t R_{t+1} + R_t + R_{t+1} $$
und da \(R_t R_{t+1}\) erwartungsgemäß extrem klein ist, ist für die Modellierung vor allem \(R_t + R_{t+1}\) interessant, da beide Summanden normalverteilt sind. Deshalb ergibt sich für den Erwartungswert \(\hat{\mu} = 2\mu\) und die Standardabweichung \(\hat{\sigma} = \sqrt{\sigma^2 + \sigma^2} = \sqrt{2} \sigma\).
D.h. bei Verdopplung des Zeitsprungs verdoppelt sich der Erwartungswert und die Standardabweichung wird mit dem Faktor \(\sqrt{2}\) multipliziert (deshalb gleich hoch einhalb). Also ist als diskretes Modell folgendes sinnvoll:
$$ R_t = \mu \delta t + \sigma Y \delta t^{\frac{1}{2}} $$
wobei \(Y\) eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist. Um zum stetigen Modell zu kommen schreibt man zunächst um, indem man für \(R_t\) einsetzt und dann beide Seiten mit \(S_t\) multipliziert und erhält so
$$ S_{t+1} - S_t = \mu S_t \delta t + \sigma Y \delta t^{\frac{1}{2}} $$
Um von diesem diskreten Modell zu einer stetigen Variante zu kommen, werden die Zeitsprünge (\(\delta t\)) beliebig klein. So ergibt sich
$$ dS = \mu S dt + \sigma Y S dt^{\frac{1}{2}} $$
Nun zwei Fragen:
1. Wie kann man diesen letzten Schritt auf weniger schlampige Art und korrekt darstellen?
2. Wieso ersetzt man dort \(Y dt^{\frac{1}{2}} = dX\), wobei \(dX\), wobei \(X(t)\) ein Wiener-Prozess und \(dX\) dementsprechend die (normalverteilten) Zuwächse?? So erhält man ja die stochastische DGL \(dS = \mu S dt + \sigma S dX\), aber wieso lässt mans net so stehen wie oben?
LG
