lim_n->∞ ((n^2+5n)/(3n^2+7))^{n-1}/n . Stimmt meine Überlegung?

Question

Hi,

Berechnen Sie den Grenzwert: lim_n->∞ ((n^2+5n)/(3n^2+7))^{n-1}/n

Sei a_n=(n^2+5n)/(3n^2+7) und b_n=(n-1)/n

a_n= (n^2+5n)/(3n^2+7)= (n^2(1+5/n)/(n^2(3+7/n^2)) = 1/3

b_n= (n-1)/n= (n(1-1/n)/n(1)= 1/1= 1

lim_n→∞ a_n^b_n=e^{lim_n→∞ b_n ln a_n}= e^{(lim_n→∞ b_n)ln(lim_→∞a_n)}=e^1ln1/3=1/3

vielleicht, weil e und ln sich gegenseitig aufheben? 1*1/3 ist ja 1/3 ^^

Stimmts?

Comments

Gib mal den Audruck in den TR ein und gib für x z.B. 99999 ein. Schau mal was dort heraus kommt. Ich denke man das geht gegen 0. Zumindest wenn du den Ausdruck richtig angegeben hast. Weiterhin kannst du es mal Wolframalpha berechnen lassen.

Kommt 0 heraus dann frag ruhig nochmal nach. Aber vielleicht kannst du auch selber ergründen warum das wohl so ist.

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Achso steht (n - 1)/n = 1 - 1/n im Exponent ? Dann hab ich das verkehrt interpretiert.

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Ja (n-1)/n steht im Exponent :)

Answer 1

Dann hast du recht.

Allerdings brauchst du da den e-Kram nicht.

lim (n->∞) ((n^2 + 5·n)/(3·n^2 + 7))^{(n - 1)/n}

= lim (n->∞) ((1 + 5/n)/(3 + 7/n^2))^{1 - 1/n}

= ((1 + 0)/(3 + 0))^{1 - 0}

= 1/3

Comments

Hi Mathecoch,

stimmt (n-1)/n bzw. 1/n ist eine Nullfolge und konvergiert gegen 0 also 1-0 =1

dann den rest wie immer. !

Also ich hab mal so eine Formel gesehen und wollte es mal ausnutzen. Hat wohl geholfen. Abe deine variante finde ich schöner und einfacher

A und mathecoach ich muss dir eine traurige geschichte erzählen. Ich möchte mal gerne deine Meinung dazu wissen. Hat was mit Schule zutun

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Mathecaoch soll ichs dir mal erzählen? Ich möchte echt deine Meinung dazu wissen