Ist die folgende Abbildung linear?

Question

Ist die folgende Abbildung ϑ linear? Begründen Sie ihre Antwort.

ϑ : Kⁿ → Kⁿ : x ↦ x^TC, C ∈ K_n,n fest 

Answer 1

wie lauten denn die Kriterien für die Linearität? Wenn Du das nicht weisst, kannst Du die Aufgabe nicht lösen.

Comments

Die Kriterien lauten:

Additivität: f(u+v)= f(u) + f(v)     u,v ∈ V

Homogenität: f(av) = a f(v)   a∈K und v∈V

Ich weiß jetzt nicht, wie ich die beiden Kriterien bei dieser Aufgabe anwenden soll.

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Machen wir mal den ersten Teil, den zweiten schaffst Du dann alleine.

$$ \vartheta(x)=x^T\cdot C $$ Also gilt  $$ \vartheta(x+y)=(x+y)^T\cdot C=x^T\cdot C+y^T\cdot C=\vartheta(x)+\vartheta(y) $$