Hallo habe im Internet den folgenden Beitrag gefunden. Hierbei handelt es sich um kombinatorik. Es soll die Formel für das ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne zurücklegen nachgewiesen werden.--> (n!/(n-k)!*k!) . Nur ich hab das jetzt nicht durch den Beitrag nachvollziehen können. Könnte vielleicht mir einer das nochmal erklären,sodass ich das verstehe. Danke
(Willst Du aber die Formel an diesem Beispiel demonstrieren, dann mußt Du nur alle Möglichkeiten zusammenzählen und als Kontrolle den Wert der Formel errechnen. Die beiden Ergebnisse sollten gleich sein!)
Jo, beide ergeben 10 Ausgänge des Zufallsexperiments.
("Wie kann man die allgemeine Formel einfach anhand dieses Beispiels beweisen?" - Gar nicht!)
Führen wir mal das Zufallsexperiment mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge, dann erhalten wir nkmögliche Ausgänge, was sich durch die Anschauung des Baumdiagramms leicht zeigen läßt. (Das reicht vollkommen als Beweis!)
Siehe das rote Baumdiagramm unten im Bild neben dem schwarzen.
- Bei der ersten Ziehung hast du n mögliche Ausgänge.
- Bei der ersten Ziehung hast du n mögliche Ausgänge.
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- Bei der k-ten Ziehung hast du n mögliche Ausgänge.
Daraus ergeben sich die gesamt möglichen Ausgänge
⇒n⋅n⋅...⋅nk=nk
Betrachte z.B. das blaue Baumdiagramm und du hast eine allgemingültige Formel, die sich durch die Anschauung beweisen lässt, für die Ziehung "ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge":
- Bei der (ersten) Ziehung hast du n=n−(0) mögliche Ausgänge
- Bei der (zweiten) Ziehung hast du n−(1) mögliche Ausgänge
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- Bei der k-ten Ziehung hast du (n−(k−1)) mögliche Ausgänge
Daraus ergeben sich die gesamt möglichen Ausgänge
n⋅(n−1)⋅... ⋅(n−(k−1))
Wenn man den obigen Term mit (n−k)!/(n−k)! erweitert
⇒n⋅(n−1)⋅... ⋅(n−k+1)⋅(n−k)!/(n−k)!=n!/(n−k)!
Wenn man für für die Ziehung "ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" sich denkt, dass sich k Elemente k!Anordnungsmöglichkeiten haben, dann kann man mit dem Faktor 1k! kürzen um auf die allgemeingültige Formel dafür zu gelangen:
⇒n!/(n−k)!⋅1/k!=(nk)
Nun beim Fall "mit Zurücklegen ohne Reihenfolge" klappt das nicht mehr?
