Differenzialquotienten für f(x) = 2x^2 - 5 aufstellen

Question

:)

War jetzt eine längere Zeit unaktiv auf der Seite hier, was aber nicht heißt, dass ich nichts in dieser Zeit gemacht habe für Mathematik oder Ähnliches, ganz im Gegenteil :)

Wie auch immer wiederhole ich gerade für die Fachabiturprüfung.

Hier die Aufgabe:

f(x)=2x²- 5      (EDIT gemäss Diskussion (Lu))

Berechnen Sie die Steigung der Tangente an der Stelle x0=-0,5 mit Hilfe des Differenzialquotienten.

Ich habe festgestellt, dass die Funktion bei -0,5 eine Definitionslücke hat. Dann habe ich nochmals den Differenzenquotienten aufgestellt und bei der Polynomdivision festgestellt, dass ein Rest von 9 übrig bleibt.

Wie darf ich das Ergebnis jetzt interpretieren? Existiert kein Grenzwert und somit auch keine Tangente? Oder einfach gesagt, die Funktion ist nicht differenzierbar?

LG

Simon

Answer 1

Hi,

bei der Funktion \( f(x)=2x^2 \cdot 0.5 \) gibt es keine Definitionslücken. Stimmt die Aufgabenstellung?

Comments

Pardon! :)

Die Funktion lautet.

f(x)=2x²-5

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Die hat aber auch keine Definitionslücke. Die taucht nur auf, wenn ein Nenner Null wird.

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" Die taucht nur auf, wenn ein Nenner Null wird."

oder in zahlreichen weiteren Fällen ...

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Ja, aber ich rede ja vom Differenzialquotienten.

Da wird der Nenner 0, oder?

D=f(x)-f(x₀)  / x - x₀

D=2x²-5-4,5  / x + 0,5

Der Grenzwert ist ja -0,5.

Wenn ich das in den Nenner einsetze habe ich beim Differenzialquotienten die 0 im Nenner, oder?

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Die erste Ableitung lautet \( f'(x)=4x \) Die hat auch keine Definitionslücke.

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Ja, aber die Aufgabenstellung erfordert ja den Differenzialquotienten, warum auch immer ;)

Und habe ich da einen Fehler drinnen? Denn ich habe ja im Nenner die 0 stehen.

Das mit der Ableitung verstehe ich ja, aber ich soll es anders lösen...

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\( \frac{f(x)-f(x_0}{x-x_0}=\frac{2x^2-5-2x_0^2+5}{x-x_0}=\frac{2(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=2(x+x_0) \)

Für x gegen \( x_0 \) ergibt sich \( 4x_0 \), also wie eben auch schon geschrieben.

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Hm...

f(x₀) aber ist doch der y-Wert, wenn ich -0,5 in 2x²-5 einsetze.

Das ergibt -4,5. Und dann stimmt doch auch meine obige Rechnung, oder etwa nicht?

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Also das was ich geschrieben habe ist der Differentialquotient der gegen \( f'(x_0) \) konvergiert. Für \( x_0=-\frac{1}{2} \) ergibt sich \( f'(x_0)=-2 \)

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ok, aber kannst du mir sagen was ich konkret falsch gemacht habe bei meiner Rechnung?

Und was wäre denn dann die Tangentensteigung...?

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Du hast ein Vorzeichenfehler, es lautet richtig

\( D=\frac{2x^2-5 + 4.5}{ x + 0.5}=\frac{2x^2-0.5}{x+0.5}=\frac{2(x^2-\frac{1}{4})}{x+0.5}=\frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{x+\frac{1}{2}}=2\left( x-\frac{1}{2} \right) \)

Für x gegen \( -\frac{1}{2} \) folgt \( D=-2\)

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Leider wahr! :)

Diese kleinen Fehler bringen einem zum Verzweifeln.

Answer 2

Berechnen Sie die Steigung der Tangente an der Stelle x0=-0,5 mit Hilfe des Differenzialquotienten.
$$  f(x)=ax² -5 $$
$$ \frac{df(x)}{dx}=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(x+\delta)-f(x)}{(x+\delta)-x}  $$
$$ \frac{df(x)}{dx}=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{a(x+\delta)^2 -5-a(x^2 -5)}{(x+\delta)-x}  $$
$$ \frac{df(x)}{dx}=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{a(x+\delta)^2 -ax^2 }{(x+\delta)-x}  $$
$$ \frac{df(x)}{dx}=a \cdot \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{(x+\delta)^2 -x^2 }{(x+\delta)-x}  $$
3.binomische im Zähler :
$$ \frac{df(x)}{dx}=a \cdot \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\left((x+\delta) -x\right)\left((x+\delta)+ x\right) }{(x+\delta)-x}  $$
$$ \frac{df(x)}{dx}=a \cdot \lim_{\delta\rightarrow 0}\left((x+\delta)+ x\right)  $$
$$ \frac{df(x)}{dx}=a \cdot \lim_{\delta\rightarrow 0}2x+\delta $$
$$ \frac{df(x)}{dx}=a \cdot 2x+0 $$

Comments

Sorry, aber mit Ableitungen kenne ich mich noch nicht aus. Wir haben lediglich den Differentialquotienten kennengelernt.

Die Funktion lautet doch:

f(x)=2x²-5

Unser Lehrer hat uns die Vorgehensweise erklärt:

1. Aufstellen des Differenzenquotienten

D=f(x)-f(x₀)  / x - x₀

D=2x²-5-4,5  / x - (-0,5 )

D=2x²-5-4,5  / x + 0,5

2. Aufstellen des Differenzialquotienten

Ich weiß jetzt wie ich hier die Limesschreibweise darstellen kann.

Aber: x konvergiert gegen -0,5

Jetzt setze ich ja bei D=2x²-5-4,5  / x + 0,5 die -0,5 für alle x-Werte ein.

Und dann habe ich doch die Null im Nenner.

Verstehst du was ich meine?

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anstelle $$(x+\delta)$$ kannst du auch $$x$$ einsetzen und anstelle $$x$$ auch $$x_0$$Das sind nur Bezeichnungen. Das hüpfende Komma bei der Sache ist ja gerade die gegen Null gehende Differenz aus dem Nenner herauszuzaubern. Und das geht mit dem Erkennen und Umbauen auf die 3. Binomische.

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ok, also bei meiner Rechnung kann den Nenner nicht wegkürzen, indem man im Zähler etwas ausklammert, oder doch?

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Deswegen empfehle ich auch stets Zahlenwerte so spät wie möglich - also am Ende einzusetzen. Wenn du für Ixnull gleich was einsetzt und direkt ausrechnest, ist die oben von mir ausgeführte Methode kaum noch möglich. Die vermeintliche Abkürzung gerät also zur Sachgasse !