Parameterdarstellung - Graphen - Monotoniebereich

Question

Aufgabe:

Parameterdarstellung von

\( x(t)=t^{3}-4 t \)
\( y(t)=-t^{2} \)

a) den Graphen zeichnen

b) Monotoniebereich zeigen

Comments

Die Aussagen in eine Form y = f ( x ) zu überführen scheint
nicht so einfach zu sein.
Dies ist aber auch nicht gefordert.

Ich würde eine
- Wertetabelle erstellen
- die Werte ins Koordinatensystem eintragen
für t = 1 ergibt sich, x =  -3, y = -1
Dann wird der Verlauf und die Monotonie
sicherlich sichtbar.

Eventuell durch eine Rechnung noch präzisieren.

Answer 1

Weißt du wie du so eine Funktion skizzieren kannst über eine Wertetabelle?

Untersuche jetzt x(t) und y(t) auf Monotonie

x(t) = t^3 - 4·t
x'(t) = 3·t^2 - 4 ≥ 0
t ≤ -1.154700538 ∨ t ≥ 1.154700538

y(t) = -t^2
y'(t) = -2·t ≥ 0
t ≤ 0

Was passiert jetzt in den Intervallen wo

x'(t) ≥ 0 und y'(t) ≥ 0 -->
x'(t) ≥ 0 und y'(t) < 0 -->
x'(t) < 0 und y'(t) ≥ 0 -->
x'(t) < 0 und y'(t) < 0 -->

Sage was dort passiert und schreibe die Intervalle in denen es passiert dazu.

Comments

Die Frage ist ja nicht ganz trivial und setzt Kenntnisse
z.B. " Parameterdarstellung " usw  voraus.
Wer auf diesem Niveau gefragt wird kennt wahrscheinlich
auch eine " Wertetabelle ".
Soweit hierzu.

Ich habe ich nicht geschafft umzuwandeln in f ( x ) = ...
Mein Matheprogramm auch nicht.
Wie hast du die Grafik hinbekommen bzw
konntest du die Funktion aufstellen ?

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Wer auf diesem Niveau gefragt wird kennt wahrscheinlich auch eine " Wertetabelle ".

Das wäre schön, wenn es so wäre. Ich sehe zwei Alternativen. Der Fragesteller weiß nicht wie man eine Parameterfunktion mit Wertetabelle zeichnet oder er war einfach nur zu faul es zu tun.

Man braucht keine direkte Funktion f(x) um einen Graphen zu zeichnen. Die kann es auch nicht geben, weil es zu einer x Koordinate mehr als einen y-Wert gibt. Man kann sich aber schnell passende Gleichungen herleiten:

x = t^3 - 4t
y = -t^2 --> t = ± √(-y)

Das kann ich jetzt in die erste einsetzen

x = (± √(-y))^3 - 4(± √(-y))

x = (-y)^{3/2} - 4·√(-y) oder x = 4·√(-y) - (-y)^{3/2}

Mit letzterem Term ließe sich das auch herkömmlich skizzieren. Aber Achtung. Man errechnet hier eine x zu einer y-Koordinate. Was ja im keine Funktionsgleichung ist.

Das braucht es in der Aufgabe aber nicht. Man hat ja die Parameterform. Das kann man selber leicht von Hand skizzieren oder man macht das mit einem Funktionsplotter. Sofern letzterer auch eine Parameterform kennt. Aber das kann sogar Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%7Bx+%3D+t%5E3-4t%2Cy+%3D+-t%5E2%7D

Also wenn man es selber nicht so gut kann gibt es zumindest genug Hilfe.

PS: Mein Funktionsplotter von http://mathegrafix.de beherrscht zum Glück auch die Parameterform, sodass ich hier natürlich weiter nichts machen muss.

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Wieder etwas Interessantes gelernt.

Üblichweise geht man vor :
x = f ( t )
t = f ( x )
unf dann t einsetzen in
y = f ( t )
y  =  f ( x )

Dies jetzt andersherum durchzuführen sehe ich
hier zum ersten Mal.

Man bekommt die Funktion nur in der Form
x = f ( y ) heraus aber das ist ja schonmal was.

Was sagst du zu meiner Einschätzung der Monotonie.
Genügt es eine Aussage vom Graph her aufzustellen ?
Oder soll die Monotonie auch als von t angegeben
werden ?

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Genügt es eine Aussage vom Graph her aufzustellen ? 

Das langt nicht. In der Aufgabe stand "Monotoniebereich zeigen". Zeigen bezieht sich dabei nicht immer auf eine Grafik :)

Operationen in zentralen Prüfungsaufgaben:

zeigen, nachweisen: Aussagen oder Sachverhalte unter Nutzung von gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen :)

Oder soll die Monotonie auch als von t angegeben werden ? Da die Funktion hier auch von t angegeben ist würde ich die Monotonie auch von t abhängig machen. Wie ich es machen würde habe ich in meiner Antwort kurz erläutert. 

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Bei

x = t^3 - 4t
y = -t^2

halndelt es sich grundsätzlich um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 unbekannten. Daraus kannst du jetzt eine Variable streichen über das Additions-, Einsetzung- oder Gleichsetzungsverfahren.

Ich habe das Einsetzungsverfahren gewählt. Dabei bleibt es aber dir überlassen welche Gleichung du nach t auflöst. Da die erste zu schwierig ist nimmt man dann einfach die 2.

Dummerweise gibt es auch Systeme wo man auch die 2. Gleichung nicht so problemlos wie hier auflösen kann. Dann ist man aufgeschmissen und muss sich einen anderen Trick überlegen.

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x = t³-4*t
y = -t²

Wird oben t ausgeklammert und dann die ganze Gleichung quadriert, lässt sich t² durch −y ersetzen und es entsteht, wenn ich mich nicht vertan habe, nach Vereinfachen die parameterfreie (und wurzelfreie) Koordinatengleichung

x² + y*(y+4)² = 0.

(Na gut, einen Schönheitspreis wird sie vermutlich nicht gewinnen...)

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Das sieht so gut aus. Ich habe das aber nach x aufgelöst damit man das dann theoretisch in einen Funktionsplotter eingeben kann. Man muss dann selber nur die x und y-Achsen vertauschen. Aber dann kann man es auch von jedem Plotter skizzieren lassen.

Answer 2

Die Aussagen in eine Form y = f ( x ) zu überführen scheint
nicht so einfach zu sein.
Dies ist aber auch nicht gefordert.

Ich würde eine
- Wertetabelle erstellen
- die Werte ins Koordinatensystem eintragen
für t = 1 ergibt sich, x =  -3, y = -1
Dann wird der Verlauf und die Monotonie
sicherlich sichtbar.

Eventuell durch eine Rechnung noch präzisieren.

Comments

Die Skizze des Mathecoachs zeigt f ( x ). Daraus lassen sich
die Monotoniebereiche ersehen
x < -3  :  f ´( x ) > 0
x >  3  :  f ´( x ) < 0
-3 < x < 3 : sowohl steigend als fallend

Die Frage wäre jetzt vielleicht noch :
Monotoniebereiche in Abhängigkeit von t

Da x = t^3 - 4 * t ist ergibt sich
für x > 3  ( Newtonverfahren )
t  >  2.303
und
für x < -3 
t =  -2.303
Monotoniebereiche
t < -2.303 : steigend
t > 2.303  :  fallend
-2.303 < t < 2.303 : sowohl steigend als fallend

Hoffentlich stimmt das alles.