der Abschnitt "Moderner Ansatz" und zwar der letzte Absatz im Link https://de.wikipedia.org/wiki/Galoistheorie#Moderner_Ansatz erleuchtet die Aussage, dass es keine allgemeinen Lösungsformeln gibt (ich bezieh' mich auf die Antwort des anderen Users):
"Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes n>4 ein Polynom mit Grad n existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für n>4 die Symmetrische Gruppe Sn einen einfachen nichtzyklischen Normalteiler enthält."
Da für n > 4 nicht durch Radikale auflösbare Polynome existieren, kann es keine allgemeine Lösungsformel für alle Polynome geben.
Das Polynom \( x^8 - 1 \) hat übrigens acht paarweise verschiedene Nullstellen, die alle auf dem Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene liegen:
\( x_j = \exp(i 2\pi \frac{j}{8}) \), \( j = 0 \dots 7 \).
Also ist \( x_0 = 1 \), \( x_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \), \( x_2 = i \), \( x_3 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \), \( x_4 = -1 \), \( \dots \), \( x_7 = \frac{1-i}{\sqrt{2}}\).
Es ist nämlich \( x_j^8 -1 = \exp(i 2\pi j ) - 1 = 0 \) für alle \( j \in \mathbb{Z} \).
Alle Nullstellen eines Polynoms anzugeben, kann also schon mal zu darstellungstechnischen Überraschungen führen, selbst wenn das Polynom zunächst einfach aussieht.
Mister
PS: Die Zerlegung \( x^8 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)(x^4 + 1) \) ist ein bisschen anschaulich. Je \( 2 \), \( 2\) und \( 4 \) Nullstellen lassen sich hier den Faktoren zuordnen (die ersten vier sind \( i \), \( -i \), \( 1 \) und \( -1 \)).
