Beweis, dass es keine Lösungsformeln für Polynomgleichungen ab x. Grad gibt

Question

Ich erinnere mich leider gerade nicht daran, ab welchem Grad es keine bekannten Lösungsverfahren mehr für Polynomgleichungen gibt. Ich erinnere mich nur, dass ein Mathematiker bewiesen haben soll, dass es ab (?). Grad keine Lösungsverfahren gibt. Ich vermute, dass angenommen wird, dass das Polynom in allen Potenzen vorliegt. So etwas wie x⁸ = 1 lässt sich natürlich einfach lösen...

Spielt mir meine Erinnerung einen Streich? Bin ich auf dem falschen Dampfer?

Wer kann hier kurz weiterhelfen, danke.

Answer 1

Hi, allgemeine Polynome ab dem 5'-ten Grad einschließlich haben keine explizite Lösung. Der Beweis wurde von Henrik Abel erbracht. Man benötigt heute für den Beweis die Theorie der Galoisgruppe dazu.

Comments

Super, vielen Dank für den Hinweis.

Wäre es demnach korrekt zu notieren: "Vollständige Polynomgleichungen ab dem 5. Grad haben keine Lösungsformeln. Vergleiche Satz von Abel-Ruffini."

Dabei bezieht sich das vollständig auf den oben erwähnten Fall. Also dass nicht nur eine Potenz vorliegt, die direkt lösbar wäre. In der Wikipedia wurde "allgemeine Polynomgleichung" erwähnt. Ggf. ist damit mein "vollständig" gemeint?

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Hi, "vollständig" im Sinne von "keine Potenz verschwindet" ist nicht dasselbe wie "es gibt im allgemeinen Fall keine Lösungsformel". Etliche Spezialfälle, darunter auch solche, bei denen alle Potenzen vertreten sind, lassen sich durchaus geschlossen lösen.

Answer 2

Hi, das ist der Satz von Abel-Ruffini (https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Abel-Ruffini), der wenige Zeit nach dem Beweis von Abel im Jahr 1824 mit den Mitteln der Galaois-Theorie (https://de.wikipedia.org/wiki/Galoistheorie) kürzer und eleganter bewiesen wurde.

Comments

Vielen Dank für die Links.

Answer 3

der Abschnitt "Moderner Ansatz" und zwar der letzte Absatz im Link https://de.wikipedia.org/wiki/Galoistheorie#Moderner_Ansatz erleuchtet die Aussage, dass es keine allgemeinen Lösungsformeln gibt (ich bezieh' mich auf die Antwort des anderen Users):

"Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes n>4 ein Polynom mit Grad n existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für n>4 die Symmetrische Gruppe S_n einen einfachen nichtzyklischen Normalteiler enthält."

Da für n > 4 nicht durch Radikale auflösbare Polynome existieren, kann es keine allgemeine Lösungsformel für alle Polynome geben.

Das Polynom $x^8 - 1$ hat übrigens acht paarweise verschiedene Nullstellen, die alle auf dem Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene liegen:

$x_j = \exp(i 2\pi \frac{j}{8})$, $j = 0 \dots 7$.

Also ist $x_0 = 1$, $x_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$, $x_2 = i$, $x_3 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}$, $x_4 = -1$, $\dots$, $x_7 = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.

Es ist nämlich $x_j^8 -1 = \exp(i 2\pi j ) - 1 = 0$ für alle $j \in \mathbb{Z}$.

Alle Nullstellen eines Polynoms anzugeben, kann also schon mal zu darstellungstechnischen Überraschungen führen, selbst wenn das Polynom zunächst einfach aussieht.

Mister

PS: Die Zerlegung $x^8 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)(x^4 + 1)$ ist ein bisschen anschaulich. Je $2$, $2$ und $4$ Nullstellen lassen sich hier den Faktoren zuordnen (die ersten vier sind $i$, $-i$, $1$ und $-1$).