Ganzrationale Funktionsterme

Question

ich brauche mal Hilfe bei ganzrationalen Funktionen. Beschäftige mich jetzt zum ersten Mal mit dem Thema und verstehe leider noch nicht besonders viel...

1) Verhalten für x nahe 0 und  x →±∞:

Wie kann man am Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion f mit f(x)=a_nxⁿ+a_n-1+x^n-1+...+a₁x¹+a₀ deren Verhalten für x nahe 0 und x →±∞ allgemein erkennen?

2) Verhalten für x →±∞:

Wie gibt man eine Funktion g mit g(x)=a_nxⁿ an, die das Verhalten des Graphen von f für x→±∞ bestimmt?

a) f(x)= -3x³+x²+x und b) f(x) =5x²-3x⁹+15000x

Dazu habe ich nochmal allgemeine Fragen: Ich verstehe den Aufbau der Funktionsterme überhaupt nicht. Was sagen mir die einzelnen "Bauteile"? Also bei der Gleichung von 2a zum Beispiel: Woher weiß ich, wie der Graph aussieht? Was sagt z.B. -3x³ darüber aus?

Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe!!

Comments

Ja, vielen Dank Unknown, das hat mir schon mal sehr weitergeholfen! Aber bei Aufgabe 2 verstehe ich einfach nicht, was ich machen soll... Selbst wenn ich mir eine Wertetabelle mache, was soll ich denn dann als Funktion g angeben? Leider hab ich überhaupt noch keine Ahnung von ganzrationalen Funktionen...

Answer 1

Für das Verhalten gegen 0 schaue Dir das Absolutglied eines Polynoms an. Also den Summanden ohne x. Gibt es keinen haben wir natürlich ein Verhalten gegen 0 ;).

Für das Verhalten gegen Unendlich brauchts etwas mehr Arbeit. Schaue Dir dafür den Summanden an, der den höchsten Exponenten beim x trägt.

Gerader Exponent: Wir sind immer positiv, es kommt also auf den Koeffizienten und dessen Vorzeichen an.

Ungerade Exponent: Hier muss nicht nur das Vorzeichen des Koeffizienten, sondern auch das Vorzeichen der Potenz berücksichtigt werden.

2. Im Notfall mach Dir eine Wertetabelle. Da sieht mans recht schnell. Der Rest kommt durch Übung^^.

Hilft Dir das weiter? Frag sonst gerne nach ;).

Grüße

Comments

Gestern konnte ich leider nur meine Frage und nicht deine Antowrt kommentieren, also hier nochmal der Kommentar:

Ja, vielen Dank Unknown, das hat mir schon mal sehr weitergeholfen! Aber bei Aufgabe 2 verstehe ich einfach nicht, was ich machen soll... Selbst wenn ich mir eine Wertetabelle mache, was soll ich denn dann als Funktion g angeben? Leider hab ich überhaupt noch keine Ahnung von ganzrationalen Funktionen...

---

Wenn Du noch gar nicht mit ganzrationalen Funktionen in Berührung gekommen bist, ist das obige schon sehr theoretisch und vertiefend. Ich finde man sollte sich erst ein Gespür erarbeiten, indem man ein paar Beispiele erarbeitet und daran erkennt, wie so eine Funktion aussieht.

Bspw. wäre Dir dann sicher bekannt, dass das konstante Glied (also der Summand ohne x) immer den y-Achsenabschnitt angibt (also den Schnittpunkt mit der y-Achse). Das höchste Glied gibt Dir dabei eine Vorstellung, wie steil (oder flach) ein Graph im Allgemeinen ist. Speziell bei Parabeln dürften die Begriffe "gestaucht" und "gestreckt" bekannt sein. Auch gibt Dir das Vorzeichen des Summanden mit der höchsten Potenz an, wie rum ein Graph orientiert ist. Also bei ganzrationalen Funktionen mit geradem höchsten Exponenten, ob sie nach oben oder unten geöffnet sind.

Ich würde Dir da mal diesen Plotter ans Herz legen: https://www.mathelounge.de/148804/funktionsplotter-ganzrationale-nullstellenberechnung

Spiel ein wenig mit den Zahlen. Ich denke das hilft mehr als Worte :).

---

Der Plotter ist wirklich praktisch und deine Hilfestellung fand ich auch echt super, nochmals vielen Dank!!:)

---

Danke für das Lob und gerne ;).

Answer 2

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1 + x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀

(1) y = a_nxⁿ (also die höchste Potenz) bestimmt das Verhalten im Unendlichen,

(2a) y = a₀ (also das konstante Glied) beschreibt, wo der Graph die y-Achse schneidet und

(2b) y = a₁x¹ (bzw. genauer die kleinste Potenz) beschreibt, wie der Graph die y-Achse schneidet.

(1) beschreibt das Verhalten im Unendlichen und
(2a) und (2b) beschreiben das Verhalten für x nahe null.

Bei (1) und bei (2b) werden jeweils vier Fälle unterschieden.
Eine vollständige Zusammenstellung findet sich im Schulbuch.

Comments

Danke auch an dich für deine Hilfe!:)