Welche lineare Funktion bildet das Intervall [a,b] auf das Intervall [c,d] ab?

Question

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Welche lineare Funktion bildet das Intervall [a,b] auf das Intervall [c,d] ab?

Problem: Meine Lösungen weichen von denjenigen der Musterlösung ab.

Meine Lösungen: 

f(x) = (d-c)/(b-a)x + (bc-ad)/(b-a) UND f(x) = (c-d)/(b-a)x - (ac-bd)/(b-a)

Die Musterlösungen:

f(x) = (d-c)/(a-b)x + (ac-bd)/(a-b) UND f(x) = (c-d)/(a-b)x + (ad-bc)/(a-b)

Mein Ansatz:

Ich habe ein Koordinatensystem gezeichnet, das Intervall [a,b] rechts vom Nullpunkt auf der x-Achse eingetragen, das Intervall [c,d] über dem Nullpunkt auf der y-Achse eingetragen. Dann habe ich durch die eingetragenen Punkte je zwei Vertikal- und Horizontallinien gezogen und es entstand ein Viereck, aus welchem mit den jeweils zwei gegenüberliegenden Punktpaaren P(a,d) Q(b,c) und P'(a,c) Q'(b,d) die zwei Lösungen hervorgehen.

Nun habe ich für beide Lösungen jeweils die Steigung m und den y-Achsenabschnitt q errechnet und bin so auf meine zwei Lösungen gekommen.

Kann mir bitte jemand sagen, was ich falsch gemacht habe?

Comments

Beachte (2-3)/(5-7) = (3-2)/(7-5)

und (2-3) = -(3-2)

Könnte doch sein, dass du die beiden Lösungen einfach anders hingeschrieben hast?

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Bitte. Gern geschehen!

War aber offenbar doch noch nicht genug ausführlich, wenn ich die Diskussion unten betrachte.

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Ich brauche wie immer etwas länger, um es zu begreifen. Danach erschien mir Deine Antwort aber völlig schlüssig und ich hätte es schon vorher begreifen müssen. (:

Answer 1

P(a, c) ; Q(b, d)

y = (d - c)/(b - a)·(x - a) + c = ((c - d)·x + a·d - b·c)/(a - b)

P(a, c) ; Q(d, b)

y = (b - c)/(d - a)·(x - a) + c =((c - b)·x + a·b - c·d)/(a - d)

Comments

Deine Lösungen sehen doch auch so aus wie die Musterlösung.

Meine Lösungen: 

f(x) = (d-c)/(b-a)x + (bc-ad)/(b-a) UND f(x) = (c-d)/(b-a)x - (ac-bd)/(b-a)

Die Musterlösungen:

f(x) = (c-d)/(a-b)x + (ad-bc)/(a-b) UND f(x) = (d-c)/(a-b)x + (ac-bd)/(a-b)

Ich habe nur die Musterlösungen vertauscht. Und jetzt vergleiche mal die übereinanderstehenden Lösungen. Du kannst die eine in die andere umwandeln.

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Besten Dank Herr Mathecoach!

Tatsächlich sind die Argumente innerhalb der Klammern immer vertauscht, bis auf einen Fall in der vorletzten Klammer der zweiten Lösung in Deiner Aufstellung. Dort sind sie gleich. Ich nehme an, ich müsste zur Umwandlung alles mit (-1) multiplizieren. Würde das die Lösung im letzten Falle wegen der vorletzten Klammer nicht verändern?

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Dafür hat du ja ein anderen Vorzeichen vor dem Bruch. Damit könntest du schon eine Klammer umdrechen.

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Ah stimmt!

Dann eigentlich bleibt mir nur noch die Frage: Wieso komme ich zu einer anderen Form, als in der Lösung? Liegt es daran, wie ich die Intervalle in das Koordinatensystem eingezeichnet habe? Mit anderen Worten: Der Lösungsschreiber hat die Variablen genau andersherum gesetzt.

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Ja. Oder du hast (y1 - y2) / (x1 - x2) gerechnet statt (y2 - y1) / (x2 - x1)

Es ist aber nicht wichtig genau die Gleiche Form wie die der Musterlösung zu haben.

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Gut gut, besten Dank, schönen Abend und bis zur nächsten Frage. (: