Exponentiagleichung mit Logarithmus. e^{2x} + 2e^{x} -3 = 0

Question

Hallo .. ich habe ein Problem und brauche e hilfe! ich bin in der 12. klasse und da wir gerade von exponenziellen Gleichungen am lernen sind, müssen wir diese auch lösen und x herausfinden. Diese Gleichung ist mein Problem:

e^2x + 2e^x - 3 = 0

als tipp hat der Lehrer uns gegeben: y = e²

wie kann man das lösen und x herausfinden? eventuell auch den Logarithmus verwenden ...

danke !!! ist :)

der erste helfer bekommt ein kleines Dankeschön :)

Answer 1

e^{2·x} + 2·e^x - 3 = 0

Merke: e^{2·x} = (e^x)^2

(e^x)^2 + 2·e^x - 3 = 0 

Substituiere z = e^x

z^2 + 2·z - 3 = 0 

z = -3 ∨ z = 1

x = LN(1) = 0

Comments

danke, aber woher weiß man plötzlich, dass z=-3 und z=1 ? :)

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z² + 2·z - 3 = 0  ist eine quadratische Gleichung die mit pq-Formel gelöst werden kann

https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung?a=1&b=2&c=-3&d=0

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die pq-formel kenn ich nicht ...

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Dann darfst du das sicher mit quadratischer Ergänzung machen.

Aber eigentlich hat man wenn man mit e^x anfängt die quadratischen Gleichungen lange hinter sich und sollte die se lösen können

z² + 2·z - 3 = 0  
z² + 2·z = 3
z² + 2·z + 1 = 4
(z + 1)^2 = 4
z + 1 = ± 2
z = -1 ± 2

z = -3 oder z = 1

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und ich bin zu der lösung gekommen, dass y = -3 oder y = 1

doch wie komme ich jetzt in die ursprüngliche form mit e zurück?

du hattest substituiert

y = e^x

Kannst du das jetzt nach x auflösen

y = e^x
LN(y) = x
x = LN(y)

Dort setzt du jetzt die Lösung für y ein und bekommst das zugehörige x heraus.

Answer 2

Wenn du noch keine Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen kennst, kannst du z.B. faktorisieren.

e^{2x} + 2e^{x} -3 = 0

(e^x)^2 + 2e^{x} -3 = 0      | u = e^x (Substitution)

u^2 + 2u - 3 = 0             | Faktorisieren

Ansatz

(u-....)(u+....)  = 0              -3 = 3*(-1) und 3 + (-1) = 2 klappt

Daher

(u-1)(u+3) = 0.

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Daher u₁ = 1 und u₂ = -3

Rücksubstitution

1. Lsg: 1 = e^x → x=0

2. Lsg. -3 = e^x           , e^x ist nie negativ. Es gibt daher nur die Lösung x=0.