y-Wert des Wendepunktes einer Funktionenschar bestimmen

Question

Folgende Aufgabe: Gegeben sei die Funktionenschar Fa(x)=x^3+(3-3a)*x^2-12ax. Zeigen Sie, dass fa den Wendepunkt W (a-1 l -2a^3-6a^2+6a+2) besitzt (a ist rational und größer als 0) Auf a-1 bin ich gekommen, indem ich die 1. Ableitung = 0 gesetzt habe; auf den Y-Wert kommt man normalerweise, wenn man den gefundenen x-Wert in die Standardfunktion einsetzt. Jedoch komme ich nicht auf -2a^3-6a^2+6a+2, wenn ich a-1 für x einsetze. Kann jemand den richtigen Rechenweg zeigen und erläutern?

Answer 1

" indem ich die 1. Ableitung = 0 gesetzt habe "
da liegt dein Fehler.
1.Ableitung zu 0 : Extremwert
2.Ableitung zu 0 : Wendepunkt

F ( x ) = x³ + (3-3a) * x² - 12ax
F ´( x ) = 3 * x^2 + (3-3a) * 2 * x - 12a
F ´´ ( x )  = 6 * x + (6-6a)
Wendepunkt
6 * x + (6-6a) = 0  | : 6
x + ( 1 - a ) = 0
x = a - 1

So. Und jetzt in die Ausgangsgleichung eingesetzt
ergibt  W ( a -1  |  f ( a -1 ) )

Comments

oh, da hab ich mich verschrieben. Meinte die 2. Ableitung

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Ich verstehe nicht, wie genau ich auf den y-Wert des Wendepunktes komme. Wenn ich versuche, a-1 in die Ausgangsgleichung einzusetzen, krieg ich etwas ganz falsches raus

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@Fragesteller
deine 2.Ableitung ist also richtig x = a -1 .
Ich hatte den Fehler bei " 1.Ableitung " vermutet.

Mein Matheprogramm findet auch als Funktionswert
den von dir angegeben Funktionswert.
Fa(x)=x³+(3-3a)*x²-12ax
Ansatz
f ( a - 1) = ( a -1)^3 + (3-3a)*(a-1)^2 - 12a*(a-1)
f ( a - 1) = ( a -1)^3 + 3 * (1-a)*(a-1)^2 - 12a*(a-1)
f ( a - 1) = ( a -1)^3 - 3 * (a-1)*(a-1)^2 - 12a*(a-1)
f ( a - 1) = ( a -1)^3 - 3 * (a-1)^3 - 12a*(a-1)
f ( a - 1) = - 2 * (a-1)^3 - 12a*(a-1)
f ( a - 1 ) = -2 * ( a^2 - 2a + 1 ) * ( a -1 ) - 12a^2 + 12a
f ( a - 1 ) = -2 * ( a^3 - 2a^2 + a - ( a^2 - 2a + 1 )  - 12a^2 + 12a
f ( a - 1 ) = -2 * ( a^3 - 2a^2 + a - a^2 + 2a - 1 )  - 12a^2 + 12a
f ( a - 1 ) = -2 * ( a^3 - 3a^2 + 3a - 1) - 12a^2 + 12a
f ( a - 1 ) = -2a^3  + 6a^2 -6a + 1 - 12a^2 + 12a
f ( a - 1 ) = -2a^3  -6a^2 + 6a  +2  
Soweit diese umfangreiche Rechnung.
Irgendwo muß bei dir ein Fehler sein.
Das ist schnell einmal passiert.