Abstand Punkt A von Kf berechnen:

Question

ich sitze schon gut eine halbe Stunde an einer Aufgabe, und blicke bis jetzt noch immer nicht durch.

f(x)= x^{3} - x^{2} - 4x + 1
A: (-1 / (5/3))

Ich soll den minimalen Abstand vom Punkt A zu Kf berechnen. Minima bedeutet ableiten.

Man kann die Formel: √((x+x_A)^{2} + (f(x) - y_A)^{2}) nutzen. Ab diesem Punkt weis ich nicht mehr weiter. Lösungsweg wäre super, damit ich alles nachvollziehen kann.

, Florean :-)

Comments

Ich geb dir mal an, wie du hier einsetzen kannst.

f(x)= x³ - x² - 4x + 1 
A: (-1 / (5/3)) 

Ich soll den minimalen Abstand vom Punkt A zu Kf berechnen. Minima bedeutet ableiten. 

Man kann die Formel: 

d(x) = √((x-x_A)² + (f(x) - y_A)²) = √((x+1)^2 + (x³ - x² - 4x + 1 - 5/3)^2) 

d(x) = √((x-x_A)² + (f(x) - y_A)²) = √((x+1)^2 + (x³ - x² - 4x - 2/3)^2) 

Jetzt unter der Klammer ausmultiplizieren. Dann aber noch die Wurzel weglassen und 

(d(x))^2 =  ((x+1)^2 + (x³ - x² - 4x - 2/3)^2)  minimieren. Du bekommst automatisch ein richtiges x. Überleg dir auch noch warum.

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Du bekommst automatisch das richtige x

Wenn man nämlich Gleichungen fünften Grades lösen kann

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hj215 WolframAlpha sollte das können. Ich würde eher versuchen Lote von A auf die Kurve zu fällen und dann die Abstände zu vergleichen. Aber Florean hat nun mal diese Formel zu üben.

EDIT: Sagen wir mal 'ein richtiges x'.

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Wenn ich aber sowieso irgendwann die Maschine machen lasse, warum muss ich dann vorher noch  Jetzt unter der Klammer ausmultiplizieren. Dann aber noch die Wurzel weglassen ,  kann die das nicht ? Und warum dann nicht von vornherein die ganze Aufgabe in die Maschine eingeben ... oder vielleicht in einem Mathe-Forum lösen lassen ?

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Danke Lu! Ich kann jetzt alles nachvollziehen :-)

Answer 1

d^2 = (x - (-1))^2 + (f(x) - 5/3)^2

d^2 = (x + 1)^2 + (x^3 - x^2 - 4·x + 1 - 5/3)^2

d^2 = x^6 - 2·x^5 - 7·x^4 + 20/3·x^3 + 55/3·x^2 + 22/3·x + 13/9

d^2' = 6·x^5 - 10·x^4 - 28·x^3 + 20·x^2 + 110/3·x + 22/3 = 0

x = -0.8539306138 ∨ x = -1.429627805 ∨ x = 1.598658418 ∨ x = 2.593075879 ∨ x = -0.2415092122

Der Minimale Abstand sollte bei x = -1.429627805 liegen.

Skizze von d^2

Comments

Hi Mathecoach!

Danke für die Darstellung der Funktion. Gibt es auch einen anderen Weg, eine Gleichung fünften Grades zu lösen (Also ohne Programme)?

Grüße Florean :-)

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Ja. Mit einem Intervallverfahren. Eine Wertetabelle im Bereich von -5 bis +5 in der Schrittweite 0.5 liefert dir dazu schon die wesentlichen Nullstellen.