Oktaeder: Abstand Kante zu gegenüberliegender Fläche? (Lineare Algebra)

Question

Aufgabe Oktaeder:

a) Bestimmen Sie den Abstand paralleler Flächen im Oktaeder.

b) Welchen Abstand hat die blaue Kante zur gegenüberliegenden Fläche im Oktaeder?

Answer 1

Bestimmen Sie den Abstand paralleler Flächen im Oktaeder.

Ich bestimme eine Ebenengleichung der grünen Fläche über drei Punkte

[0, -1, 0], [-1, 0, 0], [0, 0, 1]

Normalenvektor

N = ([-1, 0, 0] - [0, -1, 0]) ⨯ ([0, 0, 1] - [0, -1, 0]) = [1, 1, -1]

Ebenengleichung in Koordinatenform

x·[1, 1, -1] = [0, -1, 0]·[1, 1, -1]

x + y - z = -1

Abstandsformel

d = (x + y - z + 1) / √3

Hier sollte es egal sein welche Punkte der Gegenüberliegenden Fläche ich einsetze. Ich probiere alle 3 aus.

[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, -1]

Egal welchen Punkt ich einsetze. Ich erhalte als Abstand immer

d = 2/3·√3 = 1.155

Jeder Punkt der Ebene, Die Kante der Ebene und auch die Ebene selbst haben daher den Abstand von ca. 1.155 LE.

Comments

Super danke dir für die schnelle Antwort. Wie mache ich denn b) weil ich den Abstand von einer

kante zur Fläche bestimmen muss, habe bis jetzt nur paralelle flächen ausgerechnet.

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Ich habe eine Frage: ich habe diese Aufgabe anders gerechnet. Jedoch komme ich nicht weiter und weiß nicht was ich Falsch mache. Kann mir jemand sagen, was ich machen muss? Ich habe erst drei Punkte rausgeschrieben, daraus die Ebene. Dann in der gegenüberliegenden ein Punkt abgelesen und dann wollte ich es nach dem Punkt Ebenen Abstand ausrechnen, aberes klappt nicht.!!

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Sag doch mal was du gerechnet hast. Für die Ebene solltest du ja auch x + y - z = -1 heraus bekommen.

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So habe ich das gemacht. Beim gleichsetzen komme ich nicht mehr weiter.

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-t = r --> r = - t

1 - t = -1 + r + s

t = s --> s = t

I und III in II einsetzen

1 - t = -1 + (- t) + (t)

t = 2

Daraus lassen sich auch r und s bestimmen.

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Achso dann ist also s=2 und r= -2 ?

Ist bei meiner Rechnung sonst alles in Ordnung? Normalenvektor usw?

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Den Normalenvektor hab ich ja auch. Scheint also soweit in Ordnung zu sein.

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Nein meiner ist etwas anders als deiner. Ich habe bei mir auch die Probe gemacht aber es kommt nicht 0 raus.

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Deiner ist nur mit -1 multipliziert oder nicht. Damit nur ein linear abhängiges. Trotzdem ein Normalenvektor.

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Aber wenn ich die Probe mache n*x=0 bekomme ich -2 raus. Aber eigentlich muss 0 rauskommen dann ist es doch falsch oder nicht?

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Hast du Punkt B überhaupt richtig ?