Wie viele Enderzeugnisse können hergestellt werden, wenn 300 ME des Rohstoffes R1 zur Verfügung stehen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Verteilung der Rohstoffe R1, R2, R3, R4 in den Enderzeugnissen E1, E2, E3, E4.

	El	E2	E3	E4
R1	10	0	20	0
R2	0	40*	20	10
R3	20	10	0	40
R4	30	50	40	50

* d.h. in einem Enderzeugnis E2 sind 40 Mengeneinheiten des Rohstoffes R2 enthalten.

Wie viele Enderzeugnisse E1, E2, E3, E4 können hergestellt werden, wenn \( 300 \mathrm{ME} \) des Rohstoffes R1, \( 1300 \mathrm{ME} \) des Rohstoffes R2, \( 1600 \mathrm{ME} \) des Rohstoffes R3, \( 3200 \mathrm{ME} \) des Rohstoffes R4 zur Verfügung stehen und vollständig verbraucht werden sollen.

Ansatz:

Ich habe mit dieser Aufgabe Gauß verfahren benutzt und zwar kommt am Ende

18 E3  - 15 E4 = -270

18 E3  - 15 E4 = -290 . Nun was soll ich noch machen ? irgendwie mach kein Sinn

Answer 1

Ich setze a = E1, b = E2, usw.

10·a + 20·c = 300
40·b + 20·c + 10·d = 1300
20·a + 10·b + 40·d = 1600
30·a + 50·b + 40·c + 50·d = 3200

III - 2*I ; IV - 3*I

40·b + 20·c + 10·d = 1300
10·b - 40·c + 40·d = 1000
50·b - 20·c + 50·d = 2300

I - 4*II ; III - 5*II

180·c - 150·d = -2700
180·c - 150·d = -2700

Hier bekommen wir eine lineare Abhängigkeit und können uns z.B. d frei wählen.

180·c - 150·d = -2700 --> c = 5/6·d - 15

10·b - 40·(5/6·d - 15) + 40·d = 1000 --> b = 40 - 2/3·d

10·a + 20·(5/6·d - 15) = 300 --> a = 60 - 5/3·d

Der Lösungsvektor in Abhängigkeit von d lautet

[60 - 5/3·d, 40 - 2/3·d, 5/6·d - 15, d]

Man sieht das d zumindest ein vielfaches von 6 sein muss. Ausserdem darf 5/6·d - 15 nicht kleiner Null werden warum d mind 18 sein muss. Wir setzen also 18, 24, 30 und 36 ein und erhalten die Lösungen

[30, 28, 0, 18]
[20, 24, 5, 24]
[10, 20, 10, 30]
[0, 16, 15, 36]

Das sollten also die Möglichen Produktionsmengen sein.