Ein gleichseitiges Dreieck ABC bildet die Grundfläche zweier Tetraeder. Bestimme die Spitzen.

Question

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck \( \triangle \mathrm{ABC} \) mit \( \mathrm{A}(0 ;-2 ; 0), \mathrm{B}(2 ; 0 ; 0), \mathrm{C}(0 ; 0 ;-2) . \)

Dieses Dreieck bildet die Grundfläche zweier Tetraeder \( \mathrm{ABCS}_{1} \) und \( \mathrm{ABCS}_{2} \).

Man berechne die Punkte \( \mathrm{S}_{1} \) und \( \mathrm{S}_{2} \).

Comments

Da steht Tetraeder. Das ist dasselbe wie eine dreieckige Pyramide. Schau  vielleicht mal bei Wikipedia rein, damit du weisst, wie das Ding überhaupt aussieht.

Offenbar sollen das reguläre Tetraeder sein.

Die beiden Spitzen liegen senkrecht über dem Mittelpunkt M des gleichseitigen Dreiecks.

0M = 1/3 ((0/-2/0) + (2/0/0) + (0/0/-2)) = (2/3 | -2/3 | -2/3)

M (2/3 | -2/3 | -2/3). Ich hoffe, du kommst selbst weiter.

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wenn es senkrecht sein soll, muss vektorprodukt 0 werden. Mehr weiß ich nicht :(

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Du kannst das Kreuzprodukt v= AB x AC bestimmen. Dann hast du die Richtung der Höhe.

Berechne zudem die Länge der Höhe. Die muss aus Symmteriegründen gleich lang sein wie |MA|.

Nun noch v in die richtige Länge bringen und von M aus in beide Richtungen abtragen. → S₁ und S₂.

Answer 1

Lu hat dan Ansatz schon gegeben. 

Die Spitzen befinden sich auf einer Ursprungsgeraden durch den Mittelpunkt der Dreiecksfläche

[t, - t, -t]

Zwei Punkte der Grundseite haben den Abstand d = √8

Also gilt

(t - 2)^2 + (- t - 0)^2 + (- t - 0)^2 = 8

t = - 2/3 ∨ t = 2

Die Punkte sollten [-2/3, 2/3, 2/3] und [2, -2, -2] sein.