Unter welchem Winkel schneidet ƒ(x)= 4 cos(2x-3) die x-Achse im Intervall [3,4]?

Question

Unter welchem Winkel schneidet die Funktion \( f(\mathrm{x}) \) die \( \mathrm{x} \)-Achse?

\( f(\mathrm{x})=4 \cos (2 \mathrm{x}-3) \quad \mathrm{x}_{\mathrm{s}} \)

Schnittstelle \( \mathrm{x}_{\mathrm{s}} \epsilon[3 ; 4] \)

Answer 1

π / 2 + k * π  + 3 = 2 x
x = 3.856
kurze Probe
4 * cos  ( 2 * 3.856 - 3 )
4 * cos ( 4.712 )
4 * 0
für x = 3.856 ist der Funktionswert = 0;
das heißt ein Schnittpunkt mit der x-Achse.
f ( x ) = 4 * cos ( 2*x - 3 )
f ´ ( x ) = 4 * -sin ( 2*x - 3) * 2
f ´ ( 3.856 ) =  4 * -sin ( 2*3.856 - 3) * 2
f ´ ( 3.856 ) =  -4 * (-1) * 2
f ´ ( 3.856 ) =  8
82.87 °

Allgemein
[ cos ( term ) ] ´ = -sin ( term ) *  ( term ´ )

Aufleiten
-cos
sin
cos
-sin
-cos
sin
ableiten

Comments

Immer das Beste

Allerdings hab kurz eine Frage.

cos (4,712) = 0 hab ich mit dem Taschenrechner eingetippt. aber kommt nicht null..

kannst du erklären ? danke !

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was erscheint bei dir ?

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Mit Rad -> -3,88 x 10^-4

Mit Deg -> 0,99 

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Es wurde gerundet
π  / 2 + k * π  + 3 = 2 x
mit
x = 3.85619449
kommt es haargenau heraus.

Dann
cos ( 4,71238898 )

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Daraus könnte man dann die maximale Breite eines Haares berechnen.

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haargenau kommt das vielleicht, aber es liegt eine nichtabbrechende Dezimalzahl vor - die ist nie wirklich genau.

Nun stellt sich noch die Frage der Ableitung an dieser haargenauen Stelle - mag da der Fragesteller mal ran gehen ?

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Die allgemeine Ableitung wurde bereits durchgeführt sowie
der Wert ermittelt f ´ ( 3.856 ) =  8  entspricht 82.87 °

Was meinst du ?

Answer 2

$$ 0=4 \cos(2x-3) $$
$$ 0= \cos(2x-3) $$
$$ \arccos0= (2x-3) $$
$$ \frac\pi4 +k\pi= (2x-3) $$
$$ \frac\pi4 +k\pi+3= 2x $$
$$ k \in \mathbb{Z} $$

so kommst Du erstmal an die Nulldurchgänge

Die gesuchte Schnittstelle soll in einem vorgegebenen Intervall liegen. Das ist die Einschränkung, damit nicht unendlich viele in Frage kommen.

Dann die Ableitung der Funktion an der gefundenenStelle machen - das gibt die Steigung

Comments

Danke. 

aber wie ist auf pi / 4 gekommen ??

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es muß glaube ich π / 2 heißen.

π / 2 + k * π  + 3 = 2 x
k = 1
Dann dürfte x im Intervall 3..4 liegen

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Ich glaub ich hab grad Konzentrationsprobleme - natürlich ist es Pihalbe und nicht Viertel ... Sorry!

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arccos(0) = π/2         . Benutze schlimmstenfalls den Taschenrechner und übersetze dann 90° zu π/2

Weitere Winkel mit Cosinuswert 0 sind 3π/2, 5π/2 ...

Daher π/2 + kπ = 2x-3 noch nach x auflösen.

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@georgborn

ja, stimmt  

Laut Formelsammlung ist π  / 2 + k π

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Dann ist die Lösung von dieser Aufgabe ist x = 3, 85 so tan^-1 (3,85 ) ???

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\(x_s=\frac34(\pi+2)\approx3.856\) ist die fragliche Schnittstelle. Bilde nun \(f'(x_s).\)