Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven? Bestimmen Sie zuerst die Schnittstelle.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 7: Steigungswinkel
Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven \( y=f_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \) und \( y=f_{2}(x)=\sqrt{4 x} \) ?
Bestimmen Sie zuerst die Schnittstelle.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

\( y=f_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \) und \( y=f_{2}(x)=\sqrt{4 x} \)

Schnittstelle \( \frac{1}{\sqrt{x}} =\sqrt{4 x}= 2\sqrt{ x} \) ==>    \( x=\frac{1}{2} \)

Für den Winkel brauchst du die Steigungen bei \( x=\frac{1}{2}=0,5 \)

\( y=f_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \) ==>  \(f_{1}'(x)=-0,5\frac{1}{\sqrt{x^3}} \)   Also   \(f_{1}'(0,5)=-\sqrt{2} \)

\( y=f_{2}(x)=\sqrt{4 x} \) ==> \( y=f_{2}'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}  \)    Also \(f_{2}'(0,5)=\sqrt{2} \)

f₁ hat also dort einen Steigungswinkel von -54,7°=arctan(-√2) und f₂ von 54,7°.

Damit wäre der Winkel zwischen den Kurven 109,4° bzw. 70,6°, weil man

meistens den unter 180° nimmt.