Schnittstelle von einer Geraden und einer e-Funktion

Question

Hallo, bei der untenstehenden Aufgabe komme ich leider nicht weiter. Ich habe die Lösungen, kann diese aber nicht nachvollziehen. Ich bin dankbar für jede Hilfe!

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f und h mit den Gleichungen f(x)=(x−3)⋅e^x,
h(x)=x-3.

Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen f und h .

Hier findet ihr die Lösung:

\( f(x)=h(x) \Leftrightarrow(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}=x-3 \Leftrightarrow(x-3) \cdot\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)=0 \Leftrightarrow x-3=0 \vee \mathrm{e}^{x}-1=0 \)
\( \Leftrightarrow x=3 \vee x=0 \)

Vielen Dank!

Answer 1

Gegeben sind die Funktionen f und h mit den Gleichungen \(f(x)=(x−3)⋅ e^{x} \) ,
\(h(x)=x-3\)

\((x−3)⋅ e^{x}=x-3|-(x-3)\)

\((x−3)⋅ e^{x}-(x-3)=0\)

Ausklammern von \((x−3)\):

\((x−3)*( e^{x}-1)=0\)

Satz vom Nullprodukt:

1.) \((x−3)=0\)

\(x₁=3\)

2.) \(( e^{x}-1)=0\)

\( e^{x}=1\)

\(x*lne=ln(1)\)      \(ln(e)=1\)    \(ln(1)=0\)

\(x₂=0\)        \( e^{0}=1\) → eine Zahl hoch 0 ist immer 1

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Habe das Ausklammern von (x-3) nicht erkannt.