Gibt es andere Geraden durch B(1,2 | f(1,2)), die Tangente an den Graphen von f sind?

Question

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{3}-6 x \)

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \( \mathrm{t} \) an den Graphen von \( \mathrm{fim} \) Punkt \( \mathrm{B}(1,2 \mid \mathrm{f}(1,2)) \).

b) Bestimmen Sie alle Tangenten an den Graphen, die zu t parallel oder orthogonal verlaufen.

c) Gibt es andere Geraden durch \( \mathrm{B}(1,2 \mid \mathrm{f}(1,2)) \), die Tangente an den Graphen von \( \mathrm{f} \) sind?

d) Florian behauptet: Durch jeden Punkt des Graphen von \( f \) gibt es zwei Geraden, die Tangenten an diesen Graphen tern Sie diese Behauptung ohne Rechnung ausführlich anhand von
Skizzen. Präzisieren Si. benenfalls Florians Behauptung, begründen Sie Ihre Antwort und belegen Sie Ihre Ergebnisse in Spezialfällen rechnerisch.

e) Überprüfen Sie Ihre Erkenntnisse aus Teilaufgabe d) an den Funktionen g mit \( g(x)=x^{3}+\frac{1}{2} x \) und \( h \) mit \( h(x)=(x+2) \cdot x \cdot(4-x) \)

Meine Lösungen zu Aufgabe c:

1. Y=-1.24x-3.984

Y=-2.959-1.92

Y=-1.68x-3.46

Answer 1

Die Tangente an der Stelle 1.2 lautet:

y = - 1.68·x - 3.456

Probier mal bitte folgende Lösung für c)

y = 0.432 - 4.92·x

Skizze:

Für eine Tangente durch einen bestimmten Punkt P(Px|Py) muss gelten:

f'(x) = (f(x) - Py) / (x - Px)

oder

f(x) = f'(x) * (x - Px) + Py

Das ist eine Gleichung mit x als Unbekannte und kann nach x aufgelöst werden.

Comments

Ich hatte den ansatz

-5.472=1.2×m+b

Ist der richtig?

Und wie muesste ich da weiter machen?

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Ich finde diesen Ansatz zu kompliziert, weil man dort schon 2 Unbekannte hat. Am einfachsten ist meine eine Bedingung.

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f(x) = f'(x) * (x - Px) + Py

Wie kommt man auf diesen ansatz?

Und kannst du mir sagen wie ich mit meinem anstaz loesen kann. Denn ich kimm mit dem anstz nicht weiter falls es ueberhaupt moeglich ist.

Danke

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f(x) = f'(x) * (x - Px) + Py

Den Funktionswert der Funktion an der Stelle x muss dem Funktionswert der Tangente in der Punkt-Steigungs-Form an der Stelle x entsprechen. Einsetzen ergibt dann

f(x) = f'(x) * (x - Px) + Py

x^3 - 6x = (3x^2 - 6) * (x - 1.2) - 5.472

Auflösen nach x gibt die beiden Stellen an der die Tangente anliegen kann

x = 1.2 ∨ x = -0.6

Mit deinem Ansatz

Du hast den Punkt P(1.2 | - 5.472) und t(x) = mx + b

Es müssen folgende drei Gleichungen gelten:

t(1.2) = - 5.472 --> 1.2m + b = - 5.472

f(x) = t(x) --> x^3 - 6x = mx + b

f'(x) = t'(x) --> 3x^2 - 6 = m 

Das sind 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten die man lösen kann. Du kommst hier auf die Lösungen

x = -0.6 ∧ b = 0.432 ∧ m = -4.92

x = 1.2 ∧ b = -3.456 ∧ m = -1.68

Ich hoffe du kannst klar und deutlich den Vorteil meiner Lösung erkennen.

Answer 2

Hey sorry hab die Aufgabe falsch gelesen. Trotzdem brauchst du hier nichts rechnen, wenn du

dir die Funktion aufmalst siehst du, dass dies nicht möglich ist.

Comments

Laut der lehrerin muss es eine geben.

Ich denke mal wenn dann im negativen x berreich^^

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Achso ja dann folgendes:

Die Steigung der Tagente an der Stelle x = a der Funktion f ist m = 3*a^2-6.

Diese Tangente geht durch den Punkt (a/a^3-6a) also

a^3-6a = (3a^2-6)a + b => b = -2a^3

Die allgemeine Funktion der Tangenten in Abhängigkeit von a ist also

y = (3a^2-6)x - 2a^3

Wenn einer dieser Tangenten durch (1,2/f(1,2)) gehen soll, dann

muss sie ja die Gleichung

f(1,2) = (3a^2-6)*1,2 - 2a^3

erfüllen. Löse diese Gleichung nach a. Es ist eine Gleichung 3. Grades aber eine Nullstelle kennst du

schon nämlich a = 1,2 (natürlich geht die Tangente an der Stelle x = 1,2 duch den Punkt des Graphen an dieser Stelle).

Zum Vergleich: Die Tangente an der Stelle x= -0,6 geht ebenfalls durch den Punkt (1,2/f(1,2)).