Form der Niveaufläche bestimmen

Question

in meinen Altklausuren gibt es Aufgaben in denen die Form der Niveaufläche bestimmt werden soll.

Was die Niveaufläche ist konnte ich bislang nicht verstehen. Wissen tue ich nur, dass man das skalare Feld U = C setzen soll und das wars dann auch schon. So ist es jedenfalls in meinem Klausurtrainer beschrieben. Plötzlich wird dann hergeleitet, dass die Nivauflächen Ebenen im Raum sind.

Beispielaufgabe:

Es soll die Form der Niveauflächen und der Gradient für das skalier Feld U= x-2y+z-3 bestimmt werden.

Lösung: Die Niveaufläche ergeben sich aus U=C mit konstantem C zu x-2y+z-3=C und sind Ebenen im Raum.

Mehr steht da nicht? Wie erkenne ich ob es nun Ebenen im Raum sind und in einer anderen Aufgabe konnte jemand auch plötzlich sagen, dass die Niveaufläche eine parallele Ebene ist. Was für Formen der Niveauflächen gibt es und wie erkenne ich diese?

Answer 1

Betrachten wir der Einfachheit halber mal etwas, was man sich besser vorstellen kann. Und zwar die Funktion \(f(x,y) = x^2 + y^2\) (vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2&dataset=).

So, dabei gibt das Paar (x,y) nun einen Ort im Koordinatensystem an und an diesem Ort hat \(f\) eine gewisse Höhe, nämlich \(f(x,y)\). Die Niveaumengen entsprechen den Mengen aller Orte (x,y), an denen \(f\) eine bestimmte Höhe hat.

In unserem Fall wäre das \(x^2+y^2 = c\), wobei \(c\) positiv oder null ist. Wie sieht geometrisch die Menge aus, für die diese Gleichung erfüllt ist? Richtig, ein Kreis (vgl. auch die Plots bei Wolframalpha). D.h. die Niveaumengen (in diesem Fall Niveaulinien) sind vergleichbar mit Höhenlinien auf einer Karte.

In höheren Dimensionen ist das natürlich etwas abgespaceter, da können die Niveaumengen eben z.B. irgendwelche Flächen im Raum sein oder andere Konstrukte.

Es ist wirklich so einfach, wie es in der Frage steht: Einfach U=C. Und ob das, was da rauskommt eine Ebene ist, kann man schnell sehen. Erinner dich bitte mal an die Schulzeit mit der Koordinatenform von Ebenengleichungen etc, vielleicht dämmert es schon? ;)

Comments

Willst du vielleicht auf: z-z₀=f_x(x,y)(x-x₀)+f_y(x,y)(y-y₀) hinaus? Also wenn ich etwas in dieser Form erkenne ist es eine Ebene im Raum und dies würde als Antwort reichen?

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ax + by + cz = d ist die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform.

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Hoppla, hab da was vertüddelt, das war ja die Tangentialebene^^

Also einfach nur drauf schauen, auf was für eine Form U mich erinnert (sei es geradengleichung, Ebenengleichung, Kreisgleichung) und dann ist die Form der Niveaufläche gleich das was es in dem Fall angibt? Das wars?

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So siehts aus