Ansatz korrekt? (Den größtmöglichen Flächeninhalt eines Vierecks bestimmen):

Question

gegeben ist die Funktion: ft(x)= -(1/4)*(x+2)^{2}*(x-t).
Für t wird der Wert 3 eingesetzt, damit folgt: f3(x)= -(1/4)*(x+2)^{2}*(x-3).

Die Punkte (0/0), P(3/0), S(0/3) und R(u/f3(u)) mit 0 < u < 3 sind die Eckpunkte eine Vierecks.
Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Vierecks.
Es wäre super, wenn man mir den Lösungsverlauf zeigen könnte.

Ansatz:
Für die Berechnung der Fläche eines Vierecks gilt: A = a*b.
Muss man nun die Funktion f3(u)= -(1/4)*(u+2)^{2}*(u-3) * u * f(u) nehmen?
Alles weitere ist klar. f3'(u) bilden und den maximalen u-Wert (für den 0 < u < 3 gilt) auswählen.
Diesen u-Wert dann in f3(u) einsetzen um den maximalen Flächeninhalt zu erhalten.

Florean :-)

Comments

Hi Florean,

der Flächeninhaltsformel von einem Quadrat (Viereck) ist A=a*a

Das was Du geschrieben hast, ist von einem Rechteck :)

oder vielleicht ist die Aufgabe so^^

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Ups. Danke, sehr gut aufgepasst Emre :-)

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Vielleicht interessiert es auch andere, und daher poste ich mal meine eigene Lösung.

Wie wir wissen sind  A(0/0), P(3/0), S(0/3) und R(u/f3(u)) unsere Punkte.
Betrachten wir die Funktion, so kann man erkennen, dass A, P und S ein Dreieck darstellen.
Somit können wir die Fläche berechnen. Es folgt: A1= 0,5 * 3 * 3 = 9/2.
Das war Teil eins!

Als nächstes müssen wir eine Formel verwenden, welche lautet:
A= 0,5*(x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x3(y₁-y₂)).
Dabei müssen die Punkte P, R und S im Uhrzeigersinn gewählt werden!
Nun müssen wir die Punkte in die Formel einsetzen.
Ansatz: Z₁ = P; Z₂ = R; Z₃ = S.
Daraus folgt: A= 0,5*(3(f(u)-3) + u(3-0) + 0(0-f(u))).

Unsere Funktion lautet also: 0,5(3(f(u)-3) + 3u).
Diese leiten wir ab, bestimmen das maximale u, für welches 0 < u < 3 gilt und setzen u in die Funktion ein.

A1 + A2 = Die gesuchte Fläche.

Grüße Florean :-)

Answer 1

Hi Florean,

zwar sind Quadrate und Rechtecke alle Vierecke, aber nicht alle Vierecke sind Quadrate und Rechtecke ;).

In deinem Beispiel hast du 3 feste Punkte und der 4 Punkt liegt auf der Funktion

$$ f_3(u), \quad \text{mit} \quad u \in (0,3) $$

Wenn du dir die Funktion mal plottest siehst du, dass das Viereck weder ein Quadrat noch ein Rechteck sein kann.

Wie berechnest du den Flächeninhalt?

Ich würde vorschlagen du schaust dir die Gerade von S nach R und R nach P an und integrierst sie jeweils in den Grenzen von 0 bis u und u bis 3 (und dann addieren). Da du aber das Maximum berechnen willst, musst du das Integral gar nicht ausrechnen, da du die Flächenfunktion die du durchs integrieren bekommst wieder ableitest.

Comments

Von welcher Flächenfunktion mache ich die Ableitung?

Ich habe ja A1 (0 bus u) und A2(u bis 3) berechnet. Wenn ich die jetzt direkt addiere kommt keine Funktion, sondern der Betrag von 171/16, also 10,6875 raus.

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Das würde bedeuten, dass unabhängig von \(u\) immer derselbe Flächeninhalt rauskommt. Hab es zwar nicht gerechnet aber denke das sollte dir zu denken geben. Das ganze geht übrigens auch ganz ohne Integral-Rechnung. Die eine Fläche ist ein Trapez, die andere ein rechtwinkliges Dreieck. Die Formeln dafür sollten bekannt sein.