Trigonometrische Gleichungen: Schreibe die Lösung in Form von x= 3π/2 +2nπ

Question

\( \sin x+\frac{\frac{1}{2}}{\sin x}=-\frac{3}{2} \)

Schreibe die Lösung in Form von x= 3π/2 +2nπ, x= aπ/b +2nπ ,x= cπ /d +2n π, wobei n ∈ Z, die Winkel 0< aπ/b <cπ/d<2π erfüllen.

Answer 1

Du siehst an der Gleichung schonmal, dass x kein ganzzahliges Vielfaches von pi sein darf.

Trick um die Gleichung zu lösen: Substitution z = sinx, dann

$$z + \frac{1}{2z} = -\frac{3}{2} $$

Du erhältst eine quadratische Gleichung

$$ z^2 + \frac{3}{2}z + \frac{1}{2} = 0$$, die du wie gewohnt löst.

Durch Rücksubstitution kannst du dann dein x bestimmen (wobei du auf die Periode von Sinus achten musst).

Comments

Was ist Rücksubstitution?

---

Wenn du die Lösung der quadratischen Gleichung hast

$$ z_1 = -1, \quad z_2 = -\frac{1}{2} $$

Dann bist du ja noch nicht fertig. Du willst ja x berechnen,

deswegen machst du die Rücksubstitution (also du machst die Substitution wieder rückgängig).

$$ sin(x_1) = -1, \quad sin(x_2) = -\frac{1}{2}  $$

und berechnest damit dein x_1 und x_2.

---

Ja das hatte ich auch schon raus, aber ich verstehe nicht was eine Rücksubstitution ist? Also z= sin(x) das ist klar. Und wenn ich die Werte dann in die Ausgangsgeraden einsetzten komm ich auch nicht weiter...

---

Du berechnest jetzt x1 und x2 im Intervall [0,2pi] und kriegst für x1 eine und für x2 zwei Lösungen raus, diese Lösungen musst du aber mit der Periode addieren, um alle möglichen Lösungen rauszufinden:

$$ sin(x_1) = -1, \quad ist x_1 \in [0,2\pi], \Longrightarrow x_1 = \frac{3pi}{2} $$

Periode berücksichtigen dann sind alle Lösungen für x1:

$$ x_1 = \frac{3\pi}{2} + n2\pi, \quad n \in Z$$

---

Ne tut mir leid, ich könnte höchsten auf der Sinusfunktion die 3π/2 erkennen, aber wie man es ausrechnen, verstehe ich immer noch nicht...

---

Vielleicht in Gradzahlen einfacher vorzustellen: sin(90°) = -1, aber da Sinus spätestens alle 360° denselben wert annimmt wäre auch 450° oder 81° usw. eine Lösung. Also sind alle Lösungen x = 90° + n360°

---

Ich hab jetzt die Winkel berechnet für sin(x)=-1/2, x1= -1π/6 und x2= 7π/6 raus, aber das erste kann ja schon einmal nicht stimmen -.-

---

Ah danke ich habe jetzt verstanden :) Da -1π/6 ja nicht im Intervall ist geht das auch gar nicht... also sind die Lösungen x1= 7π/6 und 11π/6 :D Vielen dank, auch für die Geduld :)

---

Jo richtig :). Und nicht das +2npi vergessen!