Erwartungswerte von Münzwürfen

Question

Also ich habe für folgende Aufgabe schon eine Lösung, sie kommt mir aber zu einfach vor (klingt seltsam ist aber so). Deshalb wollte ich mal fragen ob man den Erwartungswert dafür wirklich so einfach ausrechnen kann, ich hätte da was komplizierteres erwartet.

a)Man wirft eine Münze so oft bis zweimal hintereinander ,,Kopf´´ fällt. Berechne den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe die man braucht.

Meine Berechnung: E=1/4 + 3/4(1+E) ⇔ E = 1/4+3/4+3/4E ⇔ 1/4E=1 ⇔ E=4

b)Man wirft eine Münze so oft bis 3-mal hintereinander ,,Kopf´´ fällt. Berechne den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe die man braucht.

Meine Berechnung: E=1/8 + 7/8(1+E) ⇔ E = 1/8+7/8+7/8E ⇔ 1/8E=1 ⇔ E=8

Schonmal ,

Anonym

Answer 1

die Aufgabe ist nicht so trivial wie sie klingt, sofern hast du also schonmal recht.

Deine Lösung ist leider auch falsch, denn du berechnest nur den Erwartungswert wann das erste

mal 2 zweimal Kopf kommt mit der Einschränkung, dass vorher nur Zahl fiel. Das heißt du betrachtest

die Ereignisse KK, ZKK; ZZKK, ZZZKK,...

und vergisst zu berücksichtigen, dass bevor 2 mal Kopf fiel, an jeder beliebigen Stelle Kopf fallen kann sofern vor und nach dieser Stelle eine Zahl fiel, also sowas wie

ZZKZZKZKZKZKK, etc.

Der wirkliche Erwartungswert liegt bei zuerst 2mal kopf: E = 6

Der wirkliche Erwartungs für 3 mal kopf E = 14

Eine nette Erklärung findest du beispielsweise hier

http://www.matheraetsel.de/archiv/Stochastik/Muenzwurf/MUENZEN2.PDF

Comments

Erstmal ein mal ein großes Dankeschön an dich.

Gibt  es vielleicht aber noch eine Möglichkeit den Erfahrungswert zu berechnen ohne eine Computersimulation zu programmieren?
Wenn ja wäre nett wenn mir die jemand erklären könnte.

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Ja. Man kann das recht einfach über die Länge einer Markov-Kette berechnen.

Ansatz für a) siehe meine Lösung.

Answer 2

Das ganze wird über die Länge einer Markov-Kette berechnet

a)

a = 0.5·(a + 1) + 0.5·(b + 1)
b = 0.5·(a + 1) + 0.5·1

[a = 6 ∧ b = 4]

Man braucht im Schnitt 6 Würfe.

Bei b) wird das ebenso gerechnet. Man bekommt 14 als Erwartungswert für die Anzahl der Würfe.