3x3 Quadrat wie viele möglichkeiten?

Question

In einem 3x3-Quadrat muss jede der Zahlen:1,2,3,4,5,8,10,12,15 genau einmal vorkommen, so dass das Produkt der drei Zahlen in jeder Zeile und Spalte 120 beträgt. Wie viele möglichkeiten gibt es so ein Quadrat zu bilden?
Ich habe zuerst mal ein Quadrat gebildet, jenes diese Bedingungen erfüllt. Dann habe ich mir gedacht das ich jede Zeile vertauschen kann (das wären dann 8 mal) und dann noch jede Spalte (das wären dann wieder 8 mal) 8+8=16. Und dann kann ich ja das Ganze noch 3x drehen 16x3=48. Jedoch weiss ich nicht ob dann irgendwann mal ein gleiches Quadrat, wie ein vorheriges vorkommt.
Könnt ihr mir da helfen?

Comments

Hi, wie kommst Du auf 8 mögliche Anordnungen der Zeilen bzw, Spalten? Ich sehe nur jeweils 6. Und dies macht dan 6*6=36 verschiedene Quadrate, wenn von einem Quadrat ausgegangen nur Zeilen- und Spaltenvertauschungen vorgenommen werden. Korrigiere mich bitte, wenn ich falsch liege. Weiterhin hast Du wohl recht, dass das noch nicht alle möglichen Quadrate sind. Ein Ansatz wäre vielleicht die Überlegung, dass bis auf eine Zeilen- oder Spaltenvertauschung das Quadrat bereits eindeutig festgelegt ist, wenn eine Zeile oder Spalte belegt wird.

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Gibt es denn eigentlich eine Formel um das zu lösen oder muss man da einfach ausprobieren?

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Inzwischen habe ich mit dem gerade geschilderten Ansatz das Ergebnis bekommen. Die Rechnung dazu ist sehr einfach, Formel würde ich dazu nicht sagen. Immerhin stehen die sechs verschiedenen Faktorentripel bis auf Anordnung fest.

Beginne also etwa mit den Faktoren { 1, 8, 15 } und berechne, auf wie viele Weisen sich diese auf das Quadrat verteilen lassen.

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Glaube das wären dann 6 mal

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Die Faktoren können aber auch untereinander noch getascht werden. ich habe es so gemacht: Wieviele Möglichkeiten gibt es, die 1 auf das Quadrat zu setzen? Wieviele Möglichkeiten bleiben dann noch für die 8 und zuletzt für die 15?

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Meinst du damit sie in einer Zeile/spalte sind?

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Ja.

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Also dann 9 für die 1 4 für die 8( wenn die 1 in der Mitte ist) und dann noch 1 für die 15

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Ach nein 8 für die 8

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Nein doch nur 4

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Richtig. Das macht dann insgesamt?

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14 wenn ich mich nicht irre

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Gibt es an eurer Lösung nicht ein Problem? Nicht alle Zahlen passen überall hin. { 1, 8, 15 }, aber man kann die 1 doch nicht überall hinverteilen, da die anderen Zahlen { 2, 3, 5, 10, 12 } auch nicht überall hinein passen. Ich habe das noch nicht ausprobiert, kann sein, dass es doch möglich ist.

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Na ja, ich habe versucht, eine anschauliche Begründung dafür zu anzugeben, warum es mindestens 72 Quadrate geben muss, aber auch nicht mehr als 72 Quadrate geben kann. Ich denke, die Begründung steht und kann vieleicht noch etwas einleuchtender formuliert werden.

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14 wenn ich mich nicht irre

Du musst die Anzahlen der Möglichkeiten nicht addieren, sondern multiplizieren!

Answer 1

Ich bin mir nicht sicher hat jd139 nicht schon den richtigen Ansatz gegeben.

Du hast 6 Möglichkeiten die Spalten zu vertauschen und 6 Möglichkeiten die Zeilen zu vertauschen.

Dann hast du 2 Möglichkeiten Zeilen und Spalten zu vertauschen. Also die Matrix zu Transponieren.

Das sollte dann insgesamt 6 * 6 * 2 = 72 Möglichkeiten geben.

Aber das ist jetzt nur eine erste Idee über die ich nicht weiter nachgedacht habe.

Comments

Das ist soweit richtig, das habe ich auch.

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Noch mal eine Frage dazu: Könntest Du mir erklären, was du mit "2 Möglichkeiten" meinst? Mit den 6 Möglichkeiten habe ich es verstanden. Aber warum am Ende noch mal zwei?

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Weil du die Zahlen die in einer Spalte stehen kannst auch in eine Zeile schreiben kannst. Du kannst also das Quadrat auch um 90 Grad drehen.

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Aber ist es dann nicht doppelt gemoppelt? In einer Spalte, ganz links, haben wir 5*2*12, oben nach unten. Man dreht das Quadrat um 90° gegen den Uhrzeigerseinn. In der letzten Zeile, stehen dann links nach rechts wieder 5*2*12. Aber diese Möglichkeit hat man doch mit dem sechs Mal Spalten- bzw. Zeilentausch gefunden. Oder irre mich da?

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Ich haette jetzt gedacht nochmal mal 9x6. Neun Möglichkeiten um die Faktoren in einer Spalte bzw. Zeile zu vertauschen.

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Ach soo, ich habe mich verlesen! Habe es verstanden, danke!