Aus einer Folge von Zahlen die rekursive Formel finden

Question

Gibt es einen Trick, wie man aus einer Folge von Zahlen am besten die dazugehörige Formel (rekursiv oder explizit) finden kann?

Bei 4, 3 ,1 ,-2, -6 ist es ja noch klar ersichtlich, dass es immer +d ist, wobei d immer um 1 grösser wird. Doch wie stelle ich dies in einer Formel dar?

Nun die eigentliche Frage: wie geht man vor, wenn d oder q nicht sofort ersichtlich sind? z.B. bei 1.5, 2.3, 3.25, 4.2? 

Ich hoffe es kann mir jemand helfen

Answer 1

ich gebe dir einfach Mal einen Link, der rekursive und explizite Folgen sehr gut erklärt. Ich hoffe, dir hilft das.

http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//folgen/fr1s5.htm

Comments

Vielen Dank für den Link! Ich habe ihn mir gleich angesehen, doch leider hilft er mir nicht mit meinem Problem weiter. Ich verstehe was eine rekursive und explizite Folge ist. Doch bei der Aufstellung der Formel brauche ich ja das d (der Abstand zwischen zwei Zahlen bei der arithmetischen Folge) oder das q (der Abstand zwischen zwei Zahlen bei einer geometrischen Folge). Ich kann in komplizierten Fällen (wie oben aufgelistet) das d oder q nicht identifizieren und wollte fragen, ob es da einen Trick gibt oder ob man einfach ausprobieren muss (was ja sehr zeitaufwändig ist, vor allem während einer Prüfung in der man nur wenig Zeit hat).

Answer 2

So etwas wie einen "allgemeinen Trick" , um beliebige Folgenanfänge zu ergänzen, gibt es nicht, und zwar nicht weil noch niemand so schlau war, einen solchen zu entwickeln, sondern weil es ganz grundsätzlich einfach unmöglich ist !

Solange du dich aber etwa in einem Bereich (z.B. von Schulbuchbeispielen) bewegst, wo es zunächst mal nur um simple arithmetische oder geometrische Folgen geht, kannst du durch ein wenig rumprobieren wohl immer zur Lösung kommen. Dazu nur ein Hinweis: Auch etwas "Probieren" ist keineswegs unmathematisch !

Und Aufgaben, die man nur lösen kann, wenn man darauf eingefuchst ist, in null-komma-nichts zur Lösung zu kommen, taugen ohnehin kaum etwas ...

Answer 3

Bei der ersten Folge vermute ich einen Quadratischen Zusammenhang. D.h.

f(1) = 4
f(2) = 3
f(3) = 1

Ich löse damit das folgende Gleichungssystem

a + b + c = 4
4a + 2b + c = 3
9a + 3b + c = 1

Ich erhalte die Lösung 

f(x) = -0,5·x^2 + 0,5·x + 4

Das nächste scheint eine eigenartige Funktion zu sein. Da musste man erstmal wissen was es für eine ist.

1.5, 2.3, 3.25, 4.2
0.8, 0.7, 0.95, 0.95

Answer 4

Zur Analyse nutze ich immer http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html

Man sieht sofort Differenzen und Quotienten.

Das kontinuierliche Abziehen realisiert man rekursiv mit dem Index i:

aC[i+1]=aC[i]-i-1;

Weiter unten gibt es das dazugehörige Interpolationspolynom siehe Bild 

mit x^y = pow(x,y)

Der Iterationsrechner stellt beide Folgen als Tabelle dar:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#4-x*1/2-@Px,2)*1/2@Ni=0;@C0]=4;@N@Bi]=Fx(i);@Ci+1]=@Ci]-i-1;@Ni%3E9@N0@N0@N#

Achtung: wenn keine Randbedingungen angegeben sind, gibt es unendlich viele Algorithmen zum Erzeugen endlicher Folgen! (ich kenne über 300 Funktionen und Nachkommastellen-Algorithmen)

Bei der 2. Aufgabe ergibt sich 3/2+x*27/40+pow(x,2)*3/20-pow(x,3)*1/40

=(60-(x-9)*x*(x+3))/40

Oder man verschiebt das Komma, bis sich ganze Zahlen ergeben

und teilt später...

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#round(89.40829623*exp(-4.317170291e-2*x*x+5.594824822e-1*x))@Ni=0;@C0]=4;@N@Bi]=Fx(i+1)/100;@Ci]=(60-(i-9)*i*(i+3))/40;@Ni%3E9@N0@N0@N#

ergibt die 2 unterschiedlichen Lösungen

Comments

Es fehlte noch der Hinweis, wie man von EXPLIZIT nach rekursiv wandelt:

explizit: f(x)=...

Differenz 2er Folgeglieder: [f(x+1)-f(x)]

rekursiv: aB[i+1]=aB[i]+ [f(x+1)-f(x)] mit i als Laufvariable 

Am Beispiel aC: [(60-((i+1)-9)*(i+1)*((i+1)+3))/40 - (60-(i-9)*i*(i+3))/40]

aC[i+1]=aC[i]+(32+9*i-3*i*i)/40