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Aufgabe:

Finden Sie eine geschlossene Formel für die Folgenglieder  xn in der
rekursiv definierten Folge


x0 = 4, xn = xn−1 + 2n + 3 für  n ≥ 1.


Problem/Ansatz:

kann jemand BITTE mir helfen . Es wäre sehr sehr nett

Ich bedanke mich im Voraus

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Im Editorfenster hier hättest du ausgezeichnete Mittel, z.B. die Tiefstellung, um die Rekursionsgleichung klar verständlich zu notieren:

xn = xn−1 + 2·n + 3

3 Antworten

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Kannst du mal x1 bis x4 aufschreiben und eine Vermutung äußern?

Kannst du die Vermutung jetzt auch beweisen?

Avatar von 487 k 🚀
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xn = xn−1 + 2n + 3

Tipp: Als Differenzengleichung ansehen

xn - xn−1 = 2n + 3

Im Prinzip kannst du mal integrieren und dann noch mit konstanten Summanden und Faktoren an die ersten paar berechneten Folgenglieder anpassen. ( n sollte maximal quadratisch vorkommen in der expliziten Form)

Avatar von 162 k 🚀
Als Differenzengleichung ansehen
xn - xn−1 = 2n + 3
Im Prinzip kannst du mal integrieren ...

kannst Du das bitte mal ausführen, wie Du das meinst. Mir ist das völlig unklar!

Vielleicht meinte Lu hier integrieren im Sinne von Summieren. Man könnte rechnen:

x_n = x_0 + ∑ (k =1 bis n) (2k+3)

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Aloha :)

Folgende Rekursionsgleichung ist gegeben:$$x_n=x_{n-1}+2n+3\quad;\quad x_0=4\quad;\quad n\ge1$$Um eine Idee für eine geschlossene Formel zu bekommen, schreiben wir die ersten paar Elemente der Folge auf:$$x_0=4\quad;\quad x_1=9\quad;\quad x_2=16\quad;\quad x_3=25\quad;\quad x_4=36$$Daraus leiten wir folgende Vermutung ab:

$$\text{Vermutung: }\quad x_n=(n+2)^2$$

Wir prüfen diese Vermutung mittels vollständiger Induktion nach.

1) Verankerung bei \(n=0\):$$4=x_0=(0+2)^2\quad\checkmark$$2) Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$x_{n+1}=x_{(n+1)-1}+2(n+1)+3\stackrel{\text{I.V}}{=}(n+2)^2+2(n+1)+3$$$$\phantom{x_{n+1}}=(n^2+4n+4)+2n+5=n^2+6n+9=(n+3)^2$$$$\phantom{x_{n+1}}=(\,(n+1)+2\,)^2\quad\checkmark$$Damit ist unsere Vermutung bewiesen.

Avatar von 152 k 🚀

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