Aloha :)
Folgende Rekursionsgleichung ist gegeben:$$x_n=x_{n-1}+2n+3\quad;\quad x_0=4\quad;\quad n\ge1$$Um eine Idee für eine geschlossene Formel zu bekommen, schreiben wir die ersten paar Elemente der Folge auf:$$x_0=4\quad;\quad x_1=9\quad;\quad x_2=16\quad;\quad x_3=25\quad;\quad x_4=36$$Daraus leiten wir folgende Vermutung ab:
$$\text{Vermutung: }\quad x_n=(n+2)^2$$
Wir prüfen diese Vermutung mittels vollständiger Induktion nach.
1) Verankerung bei \(n=0\):$$4=x_0=(0+2)^2\quad\checkmark$$2) Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$x_{n+1}=x_{(n+1)-1}+2(n+1)+3\stackrel{\text{I.V}}{=}(n+2)^2+2(n+1)+3$$$$\phantom{x_{n+1}}=(n^2+4n+4)+2n+5=n^2+6n+9=(n+3)^2$$$$\phantom{x_{n+1}}=(\,(n+1)+2\,)^2\quad\checkmark$$Damit ist unsere Vermutung bewiesen.