Eine geschlossene Formel für die rekursive Gleichung finden

Question

Aufgabe:

Finden Sie eine geschlossene Formel für die Folgenglieder  xn in der
rekursiv definierten Folge

x₀ = 4, x_n = x_n−1 + 2n + 3 für  n ≥ 1.

Problem/Ansatz:

kann jemand BITTE mir helfen . Es wäre sehr sehr nett

Ich bedanke mich im Voraus

Comments

Im Editorfenster hier hättest du ausgezeichnete Mittel, z.B. die Tiefstellung, um die Rekursionsgleichung klar verständlich zu notieren:

x_n = x_n−1 + 2·n + 3

Answer 1

Kannst du mal x1 bis x4 aufschreiben und eine Vermutung äußern?

Kannst du die Vermutung jetzt auch beweisen?

Answer 2

xn = xn−1 + 2n + 3

Tipp: Als Differenzengleichung ansehen

xn - xn−1 = 2n + 3

Im Prinzip kannst du mal integrieren und dann noch mit konstanten Summanden und Faktoren an die ersten paar berechneten Folgenglieder anpassen. ( n sollte maximal quadratisch vorkommen in der expliziten Form)

Comments

Als Differenzengleichung ansehen
xn - xn−1 = 2n + 3
Im Prinzip kannst du mal integrieren ...

kannst Du das bitte mal ausführen, wie Du das meinst. Mir ist das völlig unklar!

---

Vielleicht meinte Lu hier integrieren im Sinne von Summieren. Man könnte rechnen:

x_n = x_0 + ∑ (k =1 bis n) (2k+3)

Answer 3

Aloha :)

Folgende Rekursionsgleichung ist gegeben:$$x_n=x_{n-1}+2n+3\quad;\quad x_0=4\quad;\quad n\ge1$$Um eine Idee für eine geschlossene Formel zu bekommen, schreiben wir die ersten paar Elemente der Folge auf:$$x_0=4\quad;\quad x_1=9\quad;\quad x_2=16\quad;\quad x_3=25\quad;\quad x_4=36$$Daraus leiten wir folgende Vermutung ab:

$$\text{Vermutung: }\quad x_n=(n+2)^2$$

Wir prüfen diese Vermutung mittels vollständiger Induktion nach.

1) Verankerung bei \(n=0\):$$4=x_0=(0+2)^2\quad\checkmark$$2) Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$x_{n+1}=x_{(n+1)-1}+2(n+1)+3\stackrel{\text{I.V}}{=}(n+2)^2+2(n+1)+3$$$$\phantom{x_{n+1}}=(n^2+4n+4)+2n+5=n^2+6n+9=(n+3)^2$$$$\phantom{x_{n+1}}=(\,(n+1)+2\,)^2\quad\checkmark$$Damit ist unsere Vermutung bewiesen.