Schrägbild und Volumen einer Pyramide

Question

ich schreibe morgen eine Klausur und mache dafür gerade einige Übungsaufgaben. Nur hänge ich an einer Aufgabe bzw. weiß ich das Ergebnis, aber ich weiß nicht wie sie drauf kamen...

Die Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A(0 / 4 / 2), B (6 / 4 / 2), C (10 / 8 / 2), D(4 / 8 /2) und S(5 / 6 / 8). Sie bilden eine Pyramide mit einer Grundfläche ABCD und der Spitze S.

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide. Bestimmen Sie den Fußpunkt F der Höhe.

b) Zeigen Sie, dass ABCD ein Parallelogramm ist. Bestimmen Sie das Pyramidenvolumen.

Also das Schrägbild habe ich erfolgreich abgezeichnet. So jetzt habe ich die Lösung, das F ( 5 / 6 / 2 ) sein soll, aber ich habe keine Ahnung wie die darauf gekommen sind?  Also die Höhe 6 erschließt sich mir ja noch einigermaßen, aber nur durchs abgucken. Das geht doch bestimmt auch rechnerisch oder?

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und wie geht b)?

Answer 1

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide. Bestimmen Sie den Fußpunkt F der Höhe.

Skizze weiter unten. Die Grundfläche liegt in der Ebene z = 2. Damit ist die Hohe parallel zur z Achse. Du brauchst also nur die Spitze S durch Parallelverschiebung auf die Grundfläche abbilden.

F = [5, 6, 8] - [0, 0, 6] = [5, 6, 2]

b) Zeigen Sie, dass ABCD ein Parallelogramm ist. Bestimmen Sie das Pyramidenvolumen.

Zeige das gegenüber liegende Seiten gleich lang sind. Berechne die Grundfläche. Dann ist es nicht schwer auch noch das Volumen bestimmen. Die Höhe ist wie du sagtest 6, weil wir S um 6 Einheiten verschoben haben um in der Ebene z = 2 zu liegen.

Skizze:

Comments

Also b verstehe ich und ist komplett einleuchtend.

Aber ehrlich gesagt verstehe ich nicht, wie du aufdie Ebene z = 2 kommst?  Weil F und h habe ich ja normalerweise also kann ich ja nicht F = [5, 6, 8] - [0, 0, 6] = [5, 6, 2] rechnen. 

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Alle Punkte A, B, C und D haben die z-Koordinate 2. Damit sollte die Ebene klar sein.

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Achsooooooooo. Ah Danke für die Hilfe! :)

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ich hab genau die selbe Aufgabe leider verstehe ich aufgabe b nicht so wirklich wie ich das bewesein soll das es ein Parallelogramm ist und das volumen der Pyramide zu bestimmen. Hoffe auf schnelle Hilfe.

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Zeige das gegenüber liegende Seiten gleich lang sind. 

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Ja das hab ich auch gemacht aber wie berechne ich den das Volumen ?

1/3*G*h und wie bekomm ich G raus ?

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könnt ihr mal nachgucken, ob meine rechnung richtig ist ?

Das Volumen der Pyramide :

V= 1/3 * G * h

Vektor AB = 6/0/0   ->   Betrag = Wurzel 65
Vektor AD = 4/4/0   ->  Betrag = 6
Vektor AS = 5/2/6    ->  Betrag = 4Wurzel2

V = 1/3 * ( 6* 4wWurzel2) * Wurzel65 = 8Wurzel130 ?

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Du darfst sicher nicht einfach so die Vektorlängen multiplizieren, denn diese schließen keine Rechten Winkel ein.

Ein Parallelogramm errechnet sich ja auch nicht über das Produkt der Seitenlängen.

Man sollte hier eher das Spat-Produkt nehmen.

1/3 * [6, 0, 0] ⨯ [4, 4, 0] ⋅ [5, 2, 6] = 48