Zeige, dass G eine Gruppe mit neutralem Element e ist

Question

Es sei G eine Menge mit einer assoziativen Verknupfung und einem Element e mit den folgenden Eigenschaften:
(i) es gilt g * e = g fur jedes g ∈ G (d.h. e ist rechtsneutral);
(ii) zu jedem g ∈ G existiert ein g' ∈ G, so da g * g' = e (d.h. jedes g ∈ G besitzt ein
Rechtsinverses).
Zeigen Sie, dass G eine Gruppe mit neutralem Element 1_G = e ist.

Meine Idee: Ich zeige, dass die Gruppe auch linksneutral ist, denn dann ist sie neutral.

g * e = g              wegen rechtsneutral
g * (g * g') = g     wegen rechtsinvers
g * (g' * g) = g     aber hier verwende ich ja Kommutativität.... Darf ich das?
                             Ich weiß ja nicht, ob die Gruppe abelsch ist
(g * g') * g = g    wegen Assoziativität
e * g = g              also linksinvers

Kann ich das also so machen? Wäre ich dann fertig?

Answer 1

Hi,

nein darfst du nicht, da dir nicht bekannt ist, dass die Gruppe kommutativ ist. Die Aufgabe besteht darin nur aus den 2 Bedingungen dies herzuleiten. (Und der Assoziativität der Verknüpfung * natürlich)

Ich würde erst empfehlen, dass g' auch ein Linksinverses ist von g. (wenn g' ein Rechtsinverses ist):

Sei (g')' das Rechtsinverse zu g' und g' das Rechtsinverse zu g, dann:

g'*g = g'*g*e = g'*g*g'*(g')' = g'*e*(g')' = g'*(g')' = e

also ist g' auch das Linksinverse zu g.

Zu zeigen, dass e auch Linkssneutral ist, ist nun relativ einfach.

Comments

Also prüfst du eigentlich nur die Bedingungen einer Gruppe nach?
Weil dass g' das Rechtsinverse von g ist, weiß ich ja schon.... Oder meinst du das Linksinverse und hast dich nur verschrieben?
Weil dann kann ich den Beweis ja eigentlich genau wie oben führen und mit dem Linksinversen begründen?!

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Jo verschrieben :D

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Super, vielen Dank für deine Hilfe !