Limes gegen unendlich finden für lim^5√(x^5-x^4)-x mit L'Hospital

Question

Ich soll den Limes für x gegen unendlich bilden mit l'hospital, bekomme es aber nicht hin:

$$ \lim \sqrt[5]{x^5-x^4} -x $$

Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

Eine kleine Umformung und dann sollte l'hospital funktionieren:

$$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt [ 5 ] { x ^ { 5 } - x ^ { 4 } } - x = \lim _ { x \rightarrow \infty } x \cdot \left( \sqrt[5]{ 1 - \frac { 1 } { x } } - 1 \right) = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt[5]{ 1 - \frac { 1 } { x } } - 1 } { \frac { 1 } { x } } $$

Answer 2

Ich glaube, so sollte es gehen. Ergebnis ist -1/5 bzw. -0,2:

$$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt [ 5 ] { x ^ { 5 } - x ^ { 4 } } - x = \lim _ { x \rightarrow \infty } x \left( \sqrt[5] { 1 - \frac { 1 } { x } } - 1 \right) \\ = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 5 ] { 1 - \frac { 1 } { x } } - 1 } { \frac { 1 } { x } } $$

Jetzt L'Hopital:

$$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 5 ] { 1 - \frac { 1 } { x } } - 1 } { \frac { 1 } { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 0.2 \left( 1 - \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 0.8 } \left( - x ^ { - 2 } \right) ( - 1 ) } { \left( - x ^ { - 2 } \right) } = - 0.2 $$