Grenzwert berechnen, L'Hospital für x gegen 0: (x²*cos(1(x)) / sin(x)

Question

Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie ob Sie l'Hospital anwenden dürfen und berechnen Sie den Grenzwert.

$$\underset { x\quad \rightarrow \quad 0 }{ lim } \quad \frac { x²\quad *\quad cos\left( \frac { 1 }{ x } \right) }{ sin(x) }$$

Nun konnte ich das umstellen und ohne l_Hospital berechnen aber dann kommt es mir etwas kurz vor (die Lösung) ? Oder habe ich etwas übersehen?

$$\underset { x\quad \rightarrow \quad 0 }{ lim } \quad \frac { x\quad *\quad cos\left( \frac { 1 }{ x } \right) }{ \frac { sin(x) }{ x } } \quad =\quad \frac { \underset { x\quad \rightarrow \quad 0 }{ lim } \quad x\quad *\quad cos\left( \frac { 1 }{ x } \right) }{ \underset { x\quad \rightarrow \quad 0 }{ lim } \quad \frac { sin(x) }{ x } } \\ \\ =\quad \frac { 0 }{ 1 } \quad =\quad 0$$

Comments

wie hast du die Grenzwerte 0 und 1
herausbekommen ?

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zweimal das sandwich theorem ?

|sin(x)| ≤ |x| ≤ |tan(x)|  ↔ |sin(x)| ≤ |x| ≤ |sin(x) / cos(x)| → 1 ≥ sin(x)/x ≥ cos(x)

-x ≤ x cos(1/x) ≤ x

Answer 1

Das halte ich für die - gegenüber Hospital - elegantere Lösung.